p-內(nèi)平凡kG-模上的Green對(duì)應(yīng)

黃文林

(中國(guó)人民大學(xué) 信息學(xué)院, 北京 100872)

p-內(nèi)平凡kG-模上的Green對(duì)應(yīng)

黃文林

(中國(guó)人民大學(xué) 信息學(xué)院, 北京 100872)

將內(nèi)平凡kG-模擴(kuò)充為p-內(nèi)平凡kG-模，并證明了若H是群G的強(qiáng)p-嵌入子群，那么Green對(duì)應(yīng)建立了一個(gè)從不可分解p-內(nèi)平凡kH-模的同構(gòu)類到不可分解p-內(nèi)平凡kG-模同構(gòu)類之間的一一對(duì)應(yīng).

p-可除模；p-內(nèi)平凡模； Green對(duì)應(yīng)

在有限群表示論中，p-可除kG-模被稱為絕對(duì)p-可除kG-模，并被用于研究Green環(huán)中的冪零元素[1].文獻(xiàn)[2]從可裂跡模的角度對(duì)p-可除kG-模也進(jìn)行了細(xì)致地研究，得到將張量積分解為不可分解模直和的方法，還得到與有限群表示相關(guān)的幾乎可裂序列的結(jié)論.

E. Dade[3]首次提出內(nèi)平凡kG-模，內(nèi)平凡kG-模在p-塊代數(shù)的穩(wěn)定范疇上的自等價(jià)和Dade群的結(jié)構(gòu)方面扮演著關(guān)鍵角色，而且與源模和源代數(shù)有關(guān)的一些問(wèn)題可以約化到內(nèi)平凡kG-模上來(lái)處理[3-5].本文利用p-可除kG-模，將內(nèi)平凡kG-模擴(kuò)充為p-內(nèi)平凡kG-模.一方面，p-內(nèi)平凡kG-模是內(nèi)平凡kG-模的廣義化[3];另一方面，任何p-內(nèi)平凡kG-模也是可裂跡模[2].由此，本文研究了一類特殊的可裂跡模——p-內(nèi)平凡kG-模.

Green對(duì)應(yīng)在有限群表示論中具有根本的重要性，沿著Green的工作思路，本文得到p-內(nèi)平凡kG-模上誘導(dǎo)和限制的系列結(jié)論，特別地，證明了若H是群G的強(qiáng)p-嵌入子群，那么Green對(duì)應(yīng)建立了一個(gè)從不可分解p-內(nèi)平凡kH-模的同構(gòu)類到不可分解p-內(nèi)平凡kG-模的同構(gòu)類之間的一一對(duì)應(yīng).

本文設(shè)定:p是素?cái)?shù)，G是階含有素因子p的有限群，k是特征為p的代數(shù)封閉域；本文中所有的模都是有限生成的，所有的群都是有限群；關(guān)于本文的記號(hào)和術(shù)語(yǔ)，請(qǐng)參考文獻(xiàn)[6-7].

1 p-內(nèi)平凡模及其Green對(duì)應(yīng)

定義 1 對(duì)于kG-模V和素?cái)?shù)p，若V的任意不可分解直因子的維數(shù)能被p整除，則稱V為p-可除kG-模[1].

讀者可證明下面的關(guān)于p-可除kG-模的基本結(jié)論.

引理 2 設(shè)U和V都是p-可除kG-模，W是kG-模，P是G的真p-子群,則:

1)P-投射kG-模是p-可除kG-模，特別地，投射kG-模是p-可除kG-模；

2)V*是p-可除kG-模；

3)U⊕V是p-可除kG-模，反之也成立；

4)U?W是p-可除kG-模；

5) Hom(U，V)是p-可除kG-模；

6)U的直因子是p-可除kG-模，特別地，k不是U的直因子，也不是End(U)的直因子.

2) 限制到代數(shù)封閉域k，任何不可分解kG-模是絕對(duì)不可分解的[1]，由此，本質(zhì)上，p-可除kG-模是由素?cái)?shù)p控制的，并且文獻(xiàn)[1]中的絕對(duì)p-可除kG-模即是本文中的p-可除kG-模.

3)p-可除kG-模是一個(gè)較大的模類，它包含所有的P-投射kG-模(特別地，所有的投射kG-模)，然而，平凡kG-模k不是p-可除kG-模,從而給出下面的定義.

定義 4 設(shè)V是kG-模，若內(nèi)同態(tài)(自同態(tài))模End(V)在kG-模同構(gòu)的意義下可以分解為平凡kG-模k和p-可除kG-模U的直和，也即End(V)?k⊕U，則稱V是p-內(nèi)平凡kG-模.

p-內(nèi)平凡kG-模推廣了熟知的內(nèi)平凡kG-模[3].平凡kG-模k是最簡(jiǎn)單的p-內(nèi)平凡kG-模，p-內(nèi)平凡kG-模的維數(shù)與p互素，并且，p-可除kG-模一定不是p-內(nèi)平凡kG-模.

引理 5 設(shè)V是p-內(nèi)平凡kG-模，W是p-可除kG-模，則：

1)V⊕W是p-內(nèi)平凡kG-模；

2) 在kG-模同構(gòu)的意義下，V有唯一一個(gè)p-內(nèi)平凡kG-模直因子.

證明 1) 一方面，有下面典范的kG-模同構(gòu)

End(V⊕W)?End(V)⊕End(W)⊕
Hom(V，W)⊕Hom(W，V);

另一方面，由引理2得知End(W)、Hom(V，W)、Hom(W，V)都是p-可除kG-模.綜上得知End(V⊕W)是平凡kG-模k和p-可除kG-模的直和，也即V⊕W是p-內(nèi)平凡kG-模.

2) 相反，設(shè)U是V的不可分解非p-可除直因子，則End(U)|End(V)，由Krull-Schmidt定理，以及V是p-內(nèi)平凡kG-模得知End(U)=k⊕M，這里M是p-可除kG-模，再由定義4得知U是p-內(nèi)平凡kG-模.

進(jìn)一步，若X是V的另一個(gè)不可分解p-內(nèi)平凡直因子，且U⊕X|V，則k⊕k|End(V)，矛盾.因此，在kG-模同構(gòu)的意義下，V有唯一一個(gè)p-內(nèi)平凡kG-模直因子.

引理5表明對(duì)于任何p-內(nèi)平凡kG-模V，在kG-模同構(gòu)的意義下，V是它的唯一的不可分解p-內(nèi)平凡kG-模直因子和p-可除kG-模的直和.

引理 6 設(shè)G≥H，P是G的p-子群，U是kP-模，以及V是kG-模.

3) 若U不是p-可除kP-模，則IndGHU是p-可除kG-模當(dāng)且僅當(dāng)P是G的真p-子群.

證明 1) 由Krull-Schmidt定理可知結(jié)論成立.

然而，由Frobenius互反律[7]得知

引理 7 設(shè)G≥H，V是kG-模,則:

另一方面，

其中M是p-可除kH-模.

2) 設(shè)End(V)?k⊕Y，其中Y是p-可除kG-模,則

性質(zhì) 8 設(shè)U和V都是p-臨界kG-模，則U*、U?V、Hom(U，V)也都是p-臨界kG-模,而且任何p-臨界kG-模都是p-內(nèi)平凡kG-模.

證明 由引理2得知U*和U?V都是p-臨界kG-模，而且Hom(U，V)也是p-臨界kG-模；又因?yàn)閗是p-內(nèi)平凡的，結(jié)合引理5和7得知任何p-臨界kG-模都是p-內(nèi)平凡kG-模.

性質(zhì) 9 設(shè)V是p-內(nèi)平凡kG-模,若V是不可分解的，則V的頂是G的西羅p-子群，并且V屬于G的滿虧p-塊；若V是H-投射的，則H包含G的某個(gè)西羅p-子群.

證明 反證法.若不可分解模V的頂P是G的真p-子群，則p|dim(V)，矛盾.所以P是G的西羅p-子群，并且V屬于G的滿虧p-塊.若V是H-投射的，則V的不可分解直因子仍是H-投射的，從而H包含G的某個(gè)西羅p-子群.

dim(V)=|G∶H|dim(U)，

所以p不能整除dim(V).與此同時(shí)，

(1)

稱H是群G的強(qiáng)p-嵌入子群，若p||H|且對(duì)于任意x∈G-H有p|H∩xH|；強(qiáng)p-嵌入子群在有限單群分類中有重要的應(yīng)用；注意到群G的強(qiáng)p-嵌入子群H包含G的任何p-子群在G中的正規(guī)化子，以及若群G有平凡西羅交，則G一定有強(qiáng)p-嵌入子群.

證明 由定理10和強(qiáng)p-嵌入子群定義即知本結(jié)論成立.

設(shè)H是群G的子群，P是G的p-子群，并且G≥H≥NG(P)，著名的Green對(duì)應(yīng)定理建立了頂為P的不可分解kG-模的同構(gòu)類和頂為P的不可分解kH-模的同構(gòu)類之間的一一對(duì)應(yīng)[7].特別地，若P是G的西羅p-子群，V是不可分解p-內(nèi)平凡kG-模，以及U是不可分解p-內(nèi)平凡kH-模，下面的結(jié)論表明V的Green對(duì)應(yīng)仍是p-內(nèi)平凡的；然而，一般地，U的Green對(duì)應(yīng)可能是，也可能不是p-內(nèi)平凡的.

性質(zhì) 13 設(shè)H是G的子群，P是G的西羅p-子群，并且G≥H≥NG(P)；又設(shè)U是不可分解p-內(nèi)平凡kH-模，V是U的Green對(duì)應(yīng)；若對(duì)于任何g∈G-H有p||G:H∩gH|，則V是不可分解p-內(nèi)平凡kG-模.

定理 14 設(shè)H是G的子群，P是G的西羅p-子群，并且G≥H≥NG(P)；若H是G的強(qiáng)p-嵌入子群，那么Green對(duì)應(yīng)建立了一個(gè)從不可分解p-內(nèi)平凡kG-模的同構(gòu)類到不可分解p-內(nèi)平凡kH-模同構(gòu)類之間的一一對(duì)應(yīng).

證明 當(dāng)H是G的強(qiáng)p-嵌入子群時(shí)，推論11和性質(zhì)12和13共同表明:不可分解p-內(nèi)平凡kG-模V的Green對(duì)應(yīng)是p-內(nèi)平凡kH-模，以及不可分解p-內(nèi)平凡kH-模U的Green對(duì)應(yīng)是p-內(nèi)平凡kG-模，而且它們有公共的頂P；既然U和V有公共的頂P，以及Green對(duì)應(yīng)建立了具有公共頂?shù)牟豢煞纸鈑G-模的同構(gòu)類和不可分解kH-模同構(gòu)類之間的一一對(duì)應(yīng)，綜上得知Green對(duì)應(yīng)在不可分解p-內(nèi)平凡模上封閉，并且也建立了一個(gè)從不可分解p-內(nèi)平凡kG-模的同構(gòu)類到不可分解p-內(nèi)平凡kH-模同構(gòu)類之間的一一對(duì)應(yīng).證畢.

定理14說(shuō)明若H是G的強(qiáng)p-嵌入子群，則不可分解p-內(nèi)平凡模作為頂為P的不可分解模的子類，它的同構(gòu)類也在從頂為P的不可分解kG-模到頂為P的不可分解kH-模的Green對(duì)應(yīng)下保持封閉.

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2010 MSC:20C05; 20C20

(編輯 周 俊)

The Green Correspondence for thep-EndotrivialkG-Modules

HUANG Wenlin

(Schoolofinformation,RenminUniversityofChina,Beijing100872)

In this paper, we extend the ordinary endo-trivialkG-module to thep-endotrivialkG-module, and prove that Green correspondence sets up a bijection between the isomorphism classes of the indecomposablep-endotrivialkG-modules and that of the indecomposablep-endotrivialkH-modules, whenHis stronglyp-embedded inG.

p-divisible module;p-endotrivial module; Green correspondence

2016-11-08

國(guó)家自然科學(xué)基金(10826057)

黃文林(1977—)，男，博士，主要從事有限群表示論的研究,E-mail:wenlinhuang@163.com

O152.6

A

1001-8395(2017)03-0320-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.03.008