含有Siegel盤的多項式的擾動

徐 玲, 楊文鈺, 周 吉*

(1. 四川師范大學 數學與軟件科學學院, 四川 成都 610066; 2. 石河子大學 數學系, 新疆 石河子 832000)

含有Siegel盤的多項式的擾動

徐 玲1, 楊文鈺2, 周 吉1*

(1. 四川師范大學 數學與軟件科學學院, 四川 成都 610066; 2. 石河子大學 數學系, 新疆 石河子 832000)

討論具有Siegel盤且次數m>2的多項式P(z),構造函數列

擬共形映射; Siegel盤; Hartogs延拓定理

1 預備知識

解析函數的Siegel盤的存在性是解析函數局部動力學的一個重要內容[1-4].設原點為解析函數的不動點,且在原點附近可表示為

f(z)=e2πiαz+O(z2),

(1)

這里α為無理數.已經知道:Siegel盤的存在性與α的性質有很大的關系[3,5].設pn/qn是實數α的第k個漸進分數,即是最佳有理逼近.如果

稱α為Brjuno數,用B表示這些Brjuno數所組成的集合.G. A. Bogar[6]得到：當α∈B,由(1)式所定義的函數f(z)在0點存在一個Siegel盤.J. C. Yoccoz[7]還得到：二次多項式在原點存在Siegel盤的充要條件是α∈B.因此,對于d次多項式

P(z)=e2πiαz+c2z2+c3z3+…+cdzd,

當α∈B,如果對次數大于1的項進行擾動,所得到的多項式仍然在原點存在一個Siegel盤.最近,文獻[8]得到如下結果.

引理 1.1[8]設f和fn是定義在原點的某個鄰域U上的解析函數,其中

fn(z)=e2πiαnz+O(z2).

若對任意n,fn在原點都有Siegel盤,并且fn在U的任意緊子集上收斂于f,則f在原點也存在Siegel盤.

反過來,如果一個解析函數在原點有Siegel盤,是否存在收斂于該函數的解析函數列,它的每個元素在原點處都有Siegel盤?就多項式的情形,本文對該問題給出了正面的回答.

為了得到本文的結果,需要擬共形映射和多復變函數方面的一些基本知識.

則稱f是擬正則的.

引理 1.3[10]對于區域Ω上的復值函數μ,‖μ‖∞表示μ在Ω上的本性上界,若μ是Lebesgue可測的且滿足‖μ‖∞<1,則稱μ為Ω上的一個Beltrami系數.

引理 1.4[10]假設f:U→V是擬正則的,μ:V→C為Beltrami系數,定義μ在f下的拉回

利用Hartogs延拓定理[12-13]可以得到下列結果.

引理 1.6 多復變解析函數無孤立零點.

2 主要結果及證明

定理 2.1 假設次數(m>2)的多項式

P(z)=λz(1+a2z2+…+amzm-1),

λ=e2πiα,α是無理數,在原點有Siegel盤S,那么存在函數列

Qn(z)=P(z)+Am-1(n)zm-1+…+A2(n)z2,

其中,Ai(n)(i=2,3,…,m-1)不全為0,(Qn)收斂于P,并且對每個n,Qn與P在原點都有Siegel盤,且包含原點的某鄰域S0.

注 2.1 當m=2時,J. C. Yoccoz[7]的結果表明上述結論仍成立.

證明 當P僅有一個非零零點時,借助于共形共軛,不妨設復平面上的m次多項式P形如P(z)=λz(cz-1)m,λ=e2πiα,α為無理數,c是復平面上非零常數,并且在原點有Siegel盤S.由文獻[14]知,存在

Qa(z)=P(z)+c(a)z2g(z),

對任意a滿足|a|<δ,都存在Siegel盤,并且包含原點的某鄰域S0,其中,f、g、c解析,c(0)=0,g(0)≠0.特別地,將a取為序列(1/n)有

因此,(Qn)收斂于P,并且對每個n,(Qn)與P在原點的Siegel盤包含原點的某鄰域S0.

當P有2個不同非零零點時,設復平面上的m次多項式P形如

P(z)=λz(z-z1)(z-z2)g(z),

λ=e2πiα,α為無理數,非零零點z1≠z2,g(0)≠0,在原點有Siegel盤S,則有

P-1(S)?S∪S1∪S2,

其中,S1和S2分別是包含z1和z2的Fatou分支.選擇適當的ε>0使得D2ε(zi):={z∈C||z-zi|<2ε}?Si,i=1,2.選擇ξ(t)∈C∞,ξ(t):[0,+∞)→[0,1],其中,當t≤1時,ξ(t)=1;當t≥4時,ξ(t)=0.對a,b∈C,定義

Pa,b(z)=P(z)+

顯然,Pa,b∈C∞.令Λi={z∈C|ε≤|z-zi|≤2ε},i=1,2,則有

下面證明在a和b適當的取值范圍內,Pa,b關于z是擬正則函數.當z∈C(Λ1∪Λ2)時,有Pa,b(z)=P(z)或Pa,b(z)=P(z)+a或Pa,b(z)=P(z)+b.因此,Pa,b解析并且Pa,b在C(Λ1∪Λ2)上是擬正則的.當z∈Λ1∪Λ2時,Pa,b∈C∞.下面只需要計算在(Λ1∪Λ2)上的復特征

因為ξ(t)∈C∞并且ξ′(t)有緊支撐,故

選擇合適的ε使得

因此

故μPa,b(z)關于a和b是解析映射.令δ=mε/(12M).若|a|<δ,|b|<δ有

所以,對z∈(Λ1∪Λ2),|a|≤δ以及|b|≤δ,有‖μPa,b‖≤1/2,其中,‖·‖是本性上界,Pa,b是3-擬正則的.因此μPa,b是Beltrami系數.

接下來在復平面C上構造不變的Belrtami系數μa,b.首先對Beltrami系數作拉回,并且拉回后仍然是Betrami系數.

由于Pa,b的軌道只要進入(Λ1∪Λ2),最終將留在S中.因此定義

μa,b(z):=

則有

其中,Pn表示P的n次迭代,IP-n(Λ1∪Λ2)表示P-n(Λ1∪Λ2)的特征函數.由最后的和式可知μa,b(z)是可測的.此外,μa,b(z)關于a和b解析.由于區域(Λ1∪Λ2)關于P和Pa,b的原像在C(D2ε(z1)∪D2ε(z2))上且相等,則有

或者

則有

μa,b是Pa,b在C上不變得Beltrami系數.由引理1.5知,存在擬共形映射φa,b:C→C,μφa,b=μa,b滿足φa,b(0)=0,φa,b(∞)=∞,φa,b(z1)=z1.令

Qa,b(z)-P(z)=Am(a,b)zm+

Am-1(a,b)zm-1+…A2(a,b)z2,

其中,Ai(i=2,3,…,m)和z無關并且關于a和b在|a|<δ和b|<δ上解析.

由于(a,b)=(0,0),記Q0,0:=Q,φ0,0:=φ有

Q(z)=φ°P°φ-1(z).

由于P在C上解析,則復特征μP=0,φ在C上是共形映射,即M?bius變換.由于φ(∞)=∞,φ(0)=0,φ(z1)=z1,φ是恒等映射,即Q=P.因此

Ai(0,0)=0,i=2,3,…,m.

由引理1.6,存在極限為(0,0)的收斂點列cn:=(an,bn),對任意n,0<|an|<δ,0<|bn|<δ,使得

Am(an,bn)=0,n=1,2,….

記(a0,b0)=(0,0),Ai(n):=Ai(an,bn),Qn:=Q(an,bn),則有

Qn(z)=P(z)+Am-1(n)zm-1+…+A2(n)z2.

由Ai解析且Ai(0,0)=0,i=2,3,…,m有

Am-1(n)zm-1+…+A2(n)z2)=P(z).

下面證明對任意正整數n,Qn≠P.事實上,只需證明存在整數k,2≤k≤m-1,Ak(n)≠0.

由于φn是擬共形的,因此在0<|an|<δ時,φn(an)≠0.又由

Qn(z1)=P(z1)+Am-1(n)zm-1+…+A2(n)z2,

=Am-1(n)zm-1+…A2(n)z2.

因此

Am-1(n)zm-1+…+A2(n)z2=φn(an)≠0,

即存在整數k,使得2≤k≤n-1,Ak(n)≠0.

最后,證明對每個n,Qn與P在原點的Siegel盤包含原點的某鄰域S0.

在P的Siegel盤S上,Pa,b≡P且φa,b是共形的,故Pa,b有Siegel盤S,又

則對任意|a|<δ,|b|<δ,Qa,b有Siegel盤φa,b(S),且φa,b(0)=0,φa,b(∞)=∞,φa,b(z1)=z1,由文獻[15],函數族φa,b是3-擬共形的正規族,故φa,b是等度連續的.由此可知Qa,b與P在原點的Siegel盤φa,b(S)(|a|<δ,|b|<δ)包含原點某固定鄰域S0.

特別地,對于收斂于(0,0)的點列(an,bn),|an|<δ,|bn|<δ,(Qn)與P在原點的Siegel盤都包含鄰域S0.證畢.

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2010 MSC：37F50

(編輯 李德華)

Perturbation of a Polynomial with a Siegel Disk

XU Ling1, YANG Wenyu2, ZHOU Ji1

( 1.CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan; 2.DepartmentofMathematics,ShiheziUniversity,Shihezi832000,Xinjiang)

In this paper, we show that for any polynomialP(z) of degreem>2 with a Siegel disk centered at 0, there exists a sequence of functions of formQn(z)=P(z)+Am-1(n)zm-1+…+A2(n)z2,whereallAi(n)(i=2,3,…,m-1) are not all equal to 0, such thatQnconverges toP. Moreover, eachQnhas a Siegel disk containing a fixed neighborhood of 0.

quasiconformal mapping; Siegel disk; Hartogs extension

2016-01-05

國家自然科學基金(11371266)、教育部博士點專項基金(20095134110001)和四川省應用基礎研究項目(07JY029-013)

O174.5

A

1001-8395(2017)03-0285-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.03.001

*通信作者簡介：周 吉(1963—),男,教授,主要從事復分析的研究,E-mail:zhouji@sicnu.edu.cn

Qn=P(z)+Am(n)zm+Am-1(n)zm-1+…+A2(n)z2,

其中Ai(n)(i=2,3,…,m-1)不全為0,使得Qn收斂于P.而且,對每個n,Qn在原點的Siegel盤都包含原點的某固定鄰域.