例談生活與“不定方程”

甘肅省定西市公園路中學(743000)

康 軍●

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例談生活與“不定方程”

甘肅省定西市公園路中學(743000)

康 軍●

不定方程問題大量出現在古代數學中，生活游戲中和年齡推算中，它是競賽數學的重要內容.教師在教學過程中，隨時都需要用一些貼近生活的數學問題來吸引學生，激發學生的學習興趣，使學生在親切、自然的情感體驗中感受到數學的意義.

生活;不定方程

一、中國古代數學中的“不定方程”

例1 一千五百多年前，中國民間流傳過這樣的趣題：“每只公雞五文錢，每只母雞三文錢，小雞三只一文錢.用100文錢買100只雞，問買公雞、母雞、小雞各幾只？”

這道題最早出現在五世紀末中國數學家張邱建所著的《算經》一書中，是當時世界數學最先進的成就之一.關于這道題還有一段美妙的傳說：“宰相三考張邱建”.當時，張邱建就是運用了“不定方程”的知識解答了此題：

解 用x、y、z分別表示公雞、母雞、小雞的只數，列出方程：

用加減消元法可得:14x+8y=200,

即：7x+4y=100.

由解的正整數性可求得四組解：

由此可見，當年張邱建可有四種答案，何懼三考.

二、游戲中的“不定方程”

例2 你一定玩過“石頭、剪子、布”的游戲，它與數學的聯系你發現了嗎？2003年中考中，江蘇淮安市有這樣一道題：“石頭、剪子、布”是同學們常玩的游戲，現在我們約定：“布”贏“石頭”得9分，“石頭”贏“剪子”得5分，“剪子”贏“布”得2分.在小明和同學玩游戲的過程中，小明贏了21次，得了108分，其中“剪子”贏“布”7次，聰明的同學，請利用所學的知識求出小明“布”贏“石頭”，“石頭”贏“剪子”各多少次？

這既是一道貼近生活的開放題，又包含競賽中“不定方程”的思路和方法，不僅能讓學生積極主動地參與到學習中，獲得成功的經驗，而且在這種親切自然的問題情境中，學生會產生急切的求解欲望，深切感受到游戲中也有數學問題.

借助圖形，理清思路，問題就會迎刃而解.

解 設小明布贏石頭x次，則石頭贏剪子(21-7-x)次.可列方程9x+5(14-x)+7×2=108.

∴得x=6,14-x=8.

“布”贏石頭6次，石頭贏剪子8次.

三、余數問題與“不定方程”

例3 小明的奶奶送來一籃雞蛋，這只籃子只能裝55個左右的雞蛋.小明3個一數，結果剩下1個，但忘了數了多少次，只好重數.他5個一數，剩下2個，可又忘了數了多少次.他準備再數時，爸爸笑著說：“不用數了，共有52個.”小明驚訝地問爸爸怎么知道的，你能幫小明的爸爸給小明一個完整的解釋嗎？

解 設此籃中共放m個雞蛋，每3個數數了x次剩1個；每5個數數了y次剩2個，

∴y= (3x-1)/5.

①當3x-1=50時，x=17,y=10,則m=3x+1=52;

②當3x-1=55時，x= 56/3(舍去).

∴m只能取52

四、年齡推算時的“不定方程”

例4 1998年某人的年齡恰好等于他出生的公元年數的數字之和，那么他的年齡是多少歲？

于是可得：1998-(1900+10x+y) =10+x+y,

即：11x+2y=88.

問題轉化為求二元一次方程的正整數解.

∵y=(88-11x)/2,其中x只能取0，2，4，6，8，而0≤y≤9，且為整數,

∴只有當x=8時，y=0滿足條件.

∴他出生于1980年，于是他的年齡為18歲.

五、高速公路上的“不定方程”

例5 在高速公路上，從3千米處開始，每隔4千米設一個限速標志，而且從10千米處開始每隔9千米設一個測速照相標志，問第一個同時設置兩種標志的地點的公里數是多少？

∴第一個同時設置標志的地點的千米數是19.

源于生活，蘊含“不定方程”的數學問題還有很多：古老中國的“五家共井” 問題，“百馬拉百瓦”問題等.我們可以借助它們充溢的生活情趣，使學生在濃厚的求知興趣中，情感得以升華，從而收到事半功倍的教育效果.

[1]張景中，任宏碩.走進科學皇后—數學趣談[M]. 87-91

[2]中學生學習報社.中考試題研究[M],2005,32-33

[3]周春荔，王中峰.奧林匹克競賽解題方法大全[M].山西教育出版社,162-163

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