例談課本例題的挖潛與應用

浙江省麗水學院幼兒師范學院(323400)

徐仙發●

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例談課本例題的挖潛與應用

浙江省麗水學院幼兒師范學院(323400)

徐仙發●

本文通過對比和拓展，對書本的兩道例題進行了比較和進一步研究，發現了圓錐曲線中的一個有意義的性質，其推廣了圓中直徑所對圓周角為直角的性質，利用本性質有助于巧妙解題.

課本；圓錐曲線；性質；推廣；巧妙解題

古語有云：書讀百遍，其義自見，可見對于書本熟悉程度的重要性.在文學中如此，而筆者認為，對于理學的數學而言亦是如此.收入課本的例題、思考題、課后習題等都是經過專家們的精心挑選，凝聚著眾多教育專家的智慧，具有一定的代表性和典型性.仔細研讀和細心對比探究，會發現許多非常有趣的現象和拓展而開的新知識點，在平時數學教學中教師要充分挖掘課本的功能，注重引導學生進行多角度的探究，則學生的學習興趣亦會被帶動起來，成為有效教學的得力手段.

圖1

于是將例A的問題一般化，設點A,B的坐標分別為(-t,0)，(t,0). 直線AM,BM相交于點M，且它們的斜率之積為定值m, 求點M的軌跡方程.

變形得：y2=x2m-t2m，即：x2m-y2=t2m,

①當m=-1時，有t2=-t2m，則M的軌跡為以A,B為直徑的圓(除去兩頂點).

綜上，當動點M與兩定點A,B所成的斜率的乘積為定值m時，M的軌跡是圓錐曲線(除去兩頂點)：

①當m∈(-∞,-1)∪(-1,0)時是橢圓;

②當m>0時是雙曲線;

③特別m=-1時是圓.

由上述的解題過程，可以得到下列圓錐曲線的性質：

特別在橢圓標準方程中，令a=b，有x2+y2=a2是以原點為圓心的圓的方程，此時圓上任意不同于A,B的點M，始終有kAM·kBM=-1，即直線lAM與直線lBM互相垂直，符合圓的性質.

當兩點A,B為圓錐曲線與y軸的交點時，同樣可以推導得出性質2.

性質2 Ⅰ)同性質1.

利用以上性質，在平時解題中可以另辟途徑，快速解題.

又頂點分別為A(-2,0),B(2,0)，

∴a=2，a2=4，

∴b2=3.

圖2

例2 (2015年新課標全國卷Ⅱ，理11)已知A,B為雙曲線E的左右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為( ).

書中自有知識的寶藏，對于課本的精典例題，我們教師要善于研究并發掘其中的閃光點，同時適當加以引導，引導學生進行探究并指導研究的方向，讓學生在自我探究中發現數學的美，并能利用發現的結論加以方便解題，如此，學生會進一步深刻理解所學的知識，在極大提升學習的積極性的同時，也培養了學生的一定的數學研究能力.

[1] 劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書·數學(選修2-1) A版[M], 北京：人民教育出版社, 2015, 41-55.

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