從數(shù)列不等式綜合問題談教學(xué)建議

江蘇省江陰中等專業(yè)學(xué)校(214400)

程亞芳●

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從數(shù)列不等式綜合問題談教學(xué)建議

江蘇省江陰中等專業(yè)學(xué)校(214400)

程亞芳●

數(shù)列不等式一直是區(qū)分學(xué)生綜合能力的壓軸型試題，其在數(shù)列基本思想和不等式放縮運(yùn)用角度上對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的區(qū)分受到命題者的歡迎，合理地掌握一些基本的放縮技巧以及放縮問題中的數(shù)列相關(guān)思想，是數(shù)列不等式問題解決的重要依據(jù)．本文從綜合性角度較高的問題談一談數(shù)列不等式綜合問題教學(xué)的一些建議．

數(shù)列;不等式;綜合;壓軸;數(shù)學(xué);放縮;累乘;累加

數(shù)列與不等式的結(jié)合一直是中學(xué)數(shù)學(xué)最難的知識(shí)之一，很多學(xué)生對(duì)其望而興嘆，根本無從下手．在各種教育論壇中，學(xué)生對(duì)數(shù)列不等式是這樣認(rèn)識(shí)的：看到數(shù)列不等式，我就直接放棄了！根本沒辦法證明！其實(shí)，數(shù)列不等式盡管依舊是難點(diǎn)所在，但是其還是有據(jù)可循的，也并不是一味地追求放縮的技巧，從這些問題的背后還是有一定的延續(xù)性和基本知識(shí)考查性，值得教師進(jìn)行研究和反思，并在教學(xué)中給出正確的復(fù)習(xí)建議．

一、放縮思想的滲透

數(shù)列與不等式的結(jié)合是高考熱點(diǎn)問題，特別是近年來在很多省份成為壓軸的問題．這類問題特別受命題者偏愛，筆者認(rèn)為這與數(shù)列中很多特性緊密相關(guān)：如數(shù)列是函數(shù)的特殊模型、高等數(shù)學(xué)中的不動(dòng)點(diǎn)的思想、“階”的思想等等，這些都可以用來考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力．因此數(shù)列不等式中以放縮為載體的問題層出不窮．?dāng)?shù)列不等式往往因?yàn)榉趴s而顯得困難無比，這種放縮的度是學(xué)生最難掌控的．但是放縮一般都是有據(jù)可循的，也是在教學(xué)中不斷嘗試和探索才能成功的．

解析 (1)a1=S1=1， 當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n-1.

由于n=1時(shí)符合公式，∴an=2n-1 (n≥1)．

兩式相減得

教學(xué)建議：數(shù)列不等式較為常見的放縮僅僅是針對(duì)現(xiàn)行的結(jié)論去實(shí)現(xiàn)的，這種綜合性問題的處理還是比較常規(guī)的，如本題中證明Tn<1，可見其通項(xiàng)是較為常規(guī)的等差×等比數(shù)列，典型的錯(cuò)位相減方式可以解決，僅僅針對(duì)求解的結(jié)果進(jìn)行了簡(jiǎn)單的放縮，是教學(xué)最需要向?qū)W生滲透的基本解決方法．

所以不等式成立．

教學(xué)建議:本題以導(dǎo)數(shù)作為切入點(diǎn)，轉(zhuǎn)向數(shù)列，求通項(xiàng)，然后利用不等式放縮法求數(shù)列的和，在本題中不等式的放縮法應(yīng)用是一個(gè)亮點(diǎn)．放縮是處理數(shù)列不等式綜合性問題最基本的一種處理手段，但是放縮常用的手段是需要積累的，需要教師給以學(xué)生歸納，比如常用的放縮技巧如：

等等．從知識(shí)技能來看，上述很多放縮是有一些技巧的，如關(guān)于組合數(shù)的放縮和階乘的放縮等，筆者本身并不贊同所有的技巧都需要掌握，這需要因?qū)W生能力而異，但是盡可能多地了解和掌握，有助于學(xué)生問題解決過程中“眼界”的開拓．

二、多角度處理的靈活性

數(shù)列不等式在處理中往往涉及到各種角度的綜合運(yùn)用，依據(jù)筆者的經(jīng)驗(yàn)來看，主要是：等比構(gòu)造放縮、等差裂項(xiàng)相消、累加思想使用、累乘思想、數(shù)學(xué)歸納法等手段的使用，數(shù)列不等式放縮型問題正是以上述知識(shí)為載體、背景進(jìn)行合理編制，讓遞推關(guān)系式中隱含諸如累乘、累加思想，通過一定的、淺顯的變換讓知識(shí)的使用成為現(xiàn)實(shí)．這里需要注意的是，技巧已經(jīng)不再是考查最核心的，更多是以思想為載體的考查成為重中之重．筆者給出一個(gè)典型案例：

總之，較為復(fù)雜的數(shù)列不等式問題需要教師做好一些教學(xué)的準(zhǔn)備工作，首先是基于常用數(shù)列求和的積累，這是學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)一步放縮的前提；其次是掌握一系列基本的放縮常用手段，這是基本放縮的必備條件；最后是給予學(xué)生幾個(gè)主流思想的指導(dǎo)，如累加累乘、不動(dòng)點(diǎn)思想、“階”的思想等等滲透．有了扎實(shí)的知識(shí)技能，結(jié)合合理的思想引導(dǎo)，學(xué)生對(duì)于問題解決的方向有了明確的針對(duì)，通過一定的訓(xùn)練自然有事倍功半的效果．本文是筆者自身不成熟的一些見解，懇請(qǐng)讀者提出寶貴建議批評(píng)指正．

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[2]張世林,田宏梅.與時(shí)俱進(jìn)的不等式恒成立問題[J].試題研究,2015,11

[3]周剛強(qiáng).高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的歸因分析及對(duì)策研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2012,10

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