淺談中算的三次高峰及代表成就

郭鵬

上海電機學院 數理教學部

【摘 要】本文主要探討了中國算學史上發展的三次高峰，秦漢時期，南北朝時期以及宋元時期，尤其探討了每個高峰期對應的代表性的數學家及數學成就，這充分的反應了中國過去兩千多年數學的發展歷程。

【關鍵詞】中算；籌算；高峰；；秦漢；南北朝

現在關于世界數學研究的書籍有很多[1][2][3]，中國數學的發展迄今為止已有幾千年的歷史，從現有的考古發現中，在殷墟出土的甲骨文中已有數字的出現，但是真正標志著中算體系的形成則是在秦漢時期，這是中算發展史上的一大里程碑，在隨后的的南北朝時期中算得到了進一步的發展，形成了第二個高峰[3]，宋元時期則是中國古代數學的巔峰期，這一時期涌現出了不少世界性的成果及代表性人物，隨后的明清時期則是一直呈現出衰落的跡象，本文重點探討中國古代數學發展的三次高峰及對應時期的代表性人物及成就。

秦漢時期，中國的算術系統，出現了一種簡單地工具——算籌，這種計算手段延續了很長一段時間，一直到唐朝，專司計算的人，名曰“籌人”。中國人已經開始在竹簡上記錄和書寫，很多與數學相關的文獻也都記錄在了竹簡上，如，已經出土的《算術書》《九九口訣》等等，都反映了這一時期的數學成就。這一時期最明顯的特征還有數學上十進制的計數系統與算籌的結合，為了方便計算，中國古人規定，用縱橫兩種擺放的方法來計數，故籌算又名縱橫術，縱表示法用于個位、百位、萬位數字，橫表示法用于表示十位、千位、數字，遇到零則空出一位。

《周髀算經》是中國歷史上比較早的數學著作，成書時間上來講是中國“算經十書”最早的一本，這本著作中記錄了勾股定理，及其一般形式，并且還有古人如何用勾股定理來計算的應用。而稍晚成書的《九章算術》則是這一時期中國數學高峰的代表性著作，《九章算術》全書分為九章，分別是：方田（分數運算和求面積法），粟米（糧食交易），衰分（分配比例），少廣（開平方和開立方法），商功（求體積法），均輸（糧食運輸均勻負擔的計算方法），盈不足（盈虧類問題），方程（一次方程組解法），勾股（勾股定理及其應用）。這本書中共計收錄了246題，每道題目都有問有答以及解答的方法。最為關鍵的其所研究的問題都與生產生活密切相關這也體現出了中國算學的特征——重視數學的應用性。《九章算術》的誕生標志著中國古代算學體系的形成，這本書是中國古代數學書籍第一本具有世界性影響的巨著，迄今為止已被翻譯成幾十種文字。這部巨著后來還流傳到朝鮮、日本等國，并被作為數學的教科書使用了幾個世紀。

中算發展的第二個高峰，當屬魏晉南北朝時期。魏晉時期中國的數學理論得到了極大地發展，其中，趙爽與劉徽兩位大家的工作，標志著那一時期中國數學理論體系的開端。趙爽本人是中國比較早的用嚴格的數學方法證明勾股定理的數學家，他所用的弦圖方法，現在已廣為流傳，并在《勾股圓方圖注》一文中做了詳盡的注釋。與趙爽同時代的另一位數學大家是劉徽，現在劉徽最廣為人知的地方是他首先提出了求圓周率的正確方法，他系統的闡述了割圓術的思想，利用圓的內接多邊形近似圓的面積，進而求出圓周率，劉徽給出了3.1416這個圓周率的近似值，而這個值也被稱為“徽率”。劉徽的另一個巨大的貢獻就是給《九章算術》做了一本注釋，即為《九章算術注》，劉徽不僅將《九章算術》中的公式和定理進行解釋和推導，并且系統的闡述了中國傳統的數學理論體系。

南北朝時期是中國古代數學的重要階段，這一時期比較有代表性的數學家當屬祖沖之、祖暅父子，祖沖之在研究了前人，尤其是研究了劉徽的著作后，他找到了計算圓周率的正確道路，并沿著這條路一直走下去，直至求出圓周率小數點后面的七位有效數字，這在當時來說是一個世界級的數學成就，歐洲數學家直到十六世紀才由荷蘭人安托尼茲給出同樣的結果，祖沖之給出了圓周率的兩個近似值，疏率：22/7與密率：355/113，而祖沖之因為在圓周率計算上的突出貢獻，也被世人所推崇，月球上的月形山以及一個小行星都以祖沖之的名字命名。祖暅在劉徽的工作基礎上正確的推導出了球的體積公式，并且在歷史上首次提出了以他名字命名的“祖暅原理”——“緣冪勢既同則積不容異”，即相同高度的截面積相同那么這兩個立體的體積相同。這個原理直到十七世紀才有意大利數學家卡瓦列里給出。

在南北朝時期除了祖沖之與祖暅之外，還有很多數學著作也誕生在這一時期，如《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》，這些數學著作中的“物不知數”問題，及“百錢買百雞”問題都是歷史上非常有趣的數學問題，而“物不知數”問題更被認為是中國古代數學在一次同余問題上的發端，而對類似問題的研究歐洲則要落后好幾個世紀。“百錢買百雞”問題則是著名的不定方程問題的代表性例題。

中國古代數學的巔峰期，大家公認的是宋元時期，即公元十一世紀到公元十四世紀，這段時期是中國以籌算為代表的古代數學的巔峰，這一時期，中國涌現出了一大批著名的數學家及數學著作，可謂中國古代數學的璀璨時期。這一時期中數學家有北宋時期的賈憲，他首先提出了開任意高次冪的“增乘開方法”，而歐洲直到19世紀初才有數學家給出相同的方法，同時賈憲還給出了二項式定理的系數表，這被稱為“賈憲三角形”，歐洲在十七世紀才由數學家帕斯卡給出相同的結果。宋朝時的科學家、數學家沈括從從生產生活中觀察到“酒家積罌”數與“層壇”體積之間的關系，他提出了“隙積術”，即今天我們常說的等差數列求和方法，沈括還給出了正確的計算公式。除此之外，沈括還提出“會圓術”，在中國古代數學的發展上第一次研究了曲線的弧長計算。

南宋時期的秦九韶是這一時期有代表性的數學家，秦九韶的名著《數學九章》是中國古代數學的名著，這本書是秦九韶的唯一數學著作，他將所研究的問題分為九類：大衍類（一次同余式組解法）；天時類（歷法計算、降水量）；田域類（土地面積）；測望類（勾股、重差）；賦役類（均輸、稅收）；錢谷類（糧谷轉運、倉窖容積）；營建類（建筑、施工）；軍族類（營盤布置、軍需供應）；市物類（交易、利息）。《數學九章》標志著中國古代數學的高峰，其先后被收入《永樂大典》和《四庫全書》。秦九韶所創造的正負開方術和大衍求一術長期以來影響著中國數學的研究方向，秦九韶的成就不僅代表了宋元時期中國數學的高峰，還是中世紀世界數學發展的最高水平，在世界數學史上占有崇高的地位。秦九韶還研究了高次方程的數值求解方法，他列出了幾十種數值求解方法，他求解的方程最高次數達到了十次。秦九韶還系統的研究了一次同余理論，這個問題現在被稱為“中國剩余定理”，他在這方面的成就領先歐洲達到幾百年，歐洲大數學家歐拉也曾研究過這個問題，但是他在這個問題上的研究還無法達到秦九韶的高度。比秦九韶稍晚的另一位大家是元朝的朱世杰，他著有數學名著《四元玉鑒》，即研究方程中含有（天元、地元、人元、物元）四個未知量，并且提出了消元的的求解思想，這種思想歐洲直到十八世紀才有數學家給出，并且朱世杰還對有限項級數求和問題做了研究，并得到了高次內插公式。朱世杰的工作具有重要意義.朱世杰數學思想的高度俯嫩傳統數學，朱世杰工作的意義就在于總結了宋元數學，使之在理論上達到新的高度，因此朱世杰被譽為“中世紀世界最偉大的數學家”，而他的著作《四元玉鑒》也被認為是中國古代數學最巔峰著作。美國著名的科學史家薩頓評論說：“朱世杰是他所生存時代的，同時也是貫穿古今的一位最杰出的數學家”。

中國古代的算學自宋元后便長期陷入低迷，我們國家在過去兩千年中，經歷了三次高峰，有著輝煌的歷史，但是明清時期中國數學逐漸裹足不前，而歐洲的數學則是從中世紀開始逐步向上發展，在經歷了幾百年后遠超我國的數學，這里面的問題值得我們深思。

參考文獻

[1] 數學史，博耶，中央編譯出版社，2012年。

[2] 數學之書，克利福德，重慶大學出版社，2015年。

[3] 數學史概論，李文林，高等教育出版社，2011年

注：

本文要感謝上海市重點通識課程項目“中外數學縱橫談”（A1-0224-17-011-09）的資助和支持。