大氣對水面空泡潰滅影響的研究

陳瑋琪

（中國船舶科學(xué)研究中心 水動力重點實驗室，江蘇無錫 214082）

大氣對水面空泡潰滅影響的研究

陳瑋琪

（中國船舶科學(xué)研究中心 水動力重點實驗室，江蘇無錫 214082）

建立了無界大氣流場和有界水流場綜合作用下的兩相球空泡動力學(xué)模型，并基于這個模型研究了大氣密度和流動對水面空泡潰滅壓力的影響機理。結(jié)果表明，當(dāng)空泡收縮到較小時，空泡的非線性動力學(xué)行為可以使大氣密度或流動對空泡潰滅壓力的影響迅速增大，大氣密度越小，潰滅壓力越大。

出水；空泡；潰滅；大氣；射流

0 引 言

由于空化對水利機械的破壞作用（空蝕），對空泡或氣泡的研究很早就引起人們重視。無界流單氣泡動力學(xué)方程就是著名的Rayleigh-Plesset（R-P）方程[1]：

它考慮了流場壓力、流體粘性、表面張力、空泡內(nèi)部不可凝結(jié)氣體等因素對氣泡行為的影響，流場可壓縮性的影響則體現(xiàn)在Gilmore（1952）[2]方程中。隨后Plesset&Chapman（1971）[3]、Blake&Girson（1987）[4]、姚熊亮&張阿漫（2006）[5]等人又開展了氣泡在近邊界的動力學(xué)研究，研究表明，氣泡在固體邊界附近潰滅時發(fā)生形變，并形成沖擊固體表面的高速微射流（圖1），它是導(dǎo)致空蝕的關(guān)鍵原因之一。

圖1 近固面的氣泡形變與射流Fig.1 The collapse of a bubble near a wall

圖2 水面空泡示意圖Fig.2 Water-exit cavity

本文所研究的空泡是在水面附近的出水空泡，空泡部分被水面的有限水層覆蓋（見圖2），這個水面空泡并不穩(wěn)定，由于外界大氣壓通常高于泡內(nèi)壓力，空泡將在壓差作用下收縮潰滅，同時空泡壁面將會高速撞擊到物體表面上（見圖2右圖），形成砰擊壓力，稱之為空泡潰滅壓力。出水空泡潰滅壓力形成過程非常復(fù)雜，它是一個很薄的有限水層的砰擊問題，涉及水面、空泡面等多個自由面的運動，目前對它的機理并不完全清楚，因此對水面空泡潰滅的研究具有重要意義。

國外對出水空泡潰滅研究的報道極少，國內(nèi)近幾年開始從試驗、數(shù)值模擬和理論上開展研究：權(quán)曉波（2008）[6]、魯傳敬（2012）[7]提出了出水空泡二維環(huán)狀模型并分析了空泡潰滅壓力形成機理。杜特專、黃晨光（2015）[8]建立了有限水域球空泡模型，給出了近自由面空泡潰滅時間的預(yù)測公式。陳瑋琪（2013）[9]利用空泡截面獨立膨脹原理建立了出水空泡一維模型并用它建立了避免空泡潰滅作用的判據(jù)，后來陳瑋琪（2016）[10]又利用錐形裝藥理論提出了非球形出水空泡潰滅壓力的形成機理，并給出了潰滅壓力的估算公式。

但是，目前在水面空泡潰滅研究中，對空泡周圍的大氣密度及其流動的作用未加以考慮。從原理上來看，物體的出水運動、以及水面空泡的膨脹或收縮都會導(dǎo)致水面上的空氣發(fā)生流動，從而導(dǎo)致空泡周圍的大氣壓力下降，最終影響到空泡的潰滅過程。

為了證實或估算大氣流動及密度變化對水面空泡潰滅壓力的影響，本文在文獻[10]的基礎(chǔ)上，建立了一個在無界大氣介質(zhì)和有限水層綜合作用下的兩相空泡動力學(xué)簡化模型，然后基于模型對大氣流動及其密度影響空泡潰滅壓力的機理進行了研究。

1 出水空泡的兩相流動力學(xué)模型

假設(shè)出水空泡是一個由相同厚度水層構(gòu)成的球形空泡（見圖3），空泡內(nèi)部是某種混合氣體；最外部是無界的大氣流場；中間是水層。與單一水流場中的氣泡不同，出水空泡的外流場是由水、氣兩個密度不同的流場介質(zhì)構(gòu)成，而R-P方程未能包含多密度介質(zhì)影響，因此下面將推導(dǎo)水、氣兩種密度介質(zhì)作用下的空泡動力學(xué)模型，稱之為兩相空泡動力學(xué)模型。

由圖3可見，水面空泡由內(nèi)、外表面構(gòu)成，內(nèi)表面與空泡內(nèi)的汽/氣接觸，外表面與大氣接觸，中間是水流體，水密度為ρw。設(shè)空泡內(nèi)表面半徑為R，外表面半徑R1，空泡內(nèi)壓力為pc=pv+pE，其中pv是飽和蒸汽壓，pE是泡內(nèi)不可凝結(jié)氣體分壓?？张菖c大氣交界面（即空泡外表面）的壓力為p（ R1）=p1。無限遠(yuǎn)處的大氣壓力為pg=const.，大氣密度為ρg。暫不考慮重力、粘性和表面張力以及大氣的可壓縮性影響，水、大氣都近似為無粘、無旋、不可壓的理想流體。球?qū)ΨQ流動的動量方程的一般形式為

圖3 大氣流動及有限水層共同影響下的空泡Fig.3 The sphere water-exit cavity influenced by atmosphere air and a water layer of limited thick

式中：R是參考點半徑，r是流場中一點，ρ是流場介質(zhì)密度。利用此式可以導(dǎo)出圖4所示的兩相空泡動力學(xué)方程。首先，從空泡內(nèi)表面R到空泡外表面R1對方程（2）的兩邊進行積分，并考慮到邊界條件p（R）=pc，p（ R1）=p1，介質(zhì)密度是水密度ρ=ρw，于是得到

再從空泡外表面R1到大氣流場的無窮遠(yuǎn)位置對方程（2）兩邊進行積分，并考慮邊界條件p（ R1）=p1，p（∞ ）=pg，介質(zhì)密度為大氣密度ρ=ρg，于是得到

實際上它就是眾所周知的無界流體中的Rayleigh方程。

聯(lián)立（3）、（4）式，從中消除p1項并注意連續(xù)性方程，整理得到

令密度比α=ρg/ρw，顯然，當(dāng)α=0時，等同于不考慮大氣的影響，這時方程（5）是R-P方程的特殊形式；當(dāng)α＞0時，等同于考慮大氣的影響，這時方程（5）是兩相空泡動力學(xué)方程。從物理上來看，大氣的影響，即是大氣流動的影響，而影響的大小與大氣密度有關(guān)。因此文中將大氣流動的影響也稱為大氣密度的影響，因為密度為0時大氣也無所謂流動。

2 密度比的影響

為了簡化計算，不妨考慮空泡壓力pc=const.常數(shù)的簡單情形。取空泡初始大小及其初始速度分別為，水層初始厚度為0.1m，即R10=R0+0.1 m，大氣壓力為p∞=100 kPa，空泡壓力pc= 50 kPa，然后對密度比取α=0.001 3和α=0分別代入方程（10）進行計算并對比。計算時間取密度比為α=0的空泡半徑收縮到R=0.2 m時結(jié)束。計算的空泡半徑、收縮速度的對比見圖4。

從圖4左圖的空泡半徑對比可看出，當(dāng)α=0，即不考慮大氣密度影響的空泡半徑收縮到0.2 m時，考慮大氣影響（α=0.001 3）的空泡半徑約為0.4 m，這表明大氣密度及其流動使得空泡收縮速度變慢，但是在收縮的前期階段，即空泡較大時這種差異很小。

從圖4右圖的空泡收縮速度對比中可看出，不考慮大氣影響的空泡半徑收縮到0.2 m時，空泡收縮速度約為344 m/s，已達到空氣的聲速，原則上這時候應(yīng)該考慮大氣的可壓縮性。而考慮大氣密度影響的空泡收縮速度約為137 m/s，遠(yuǎn)小于聲速。另外，注意到空泡潰滅壓力與空泡收縮速度的平方成正比，這表明不考慮大氣影響的空泡潰滅壓力遠(yuǎn)高于考慮大氣影響的空泡潰滅壓力。但是從圖中可看出，速度差異在收縮的前期階段相差很小，在0.1 s之后速度差急劇增大，因此大氣密度對空泡潰滅壓力的影響只有在空泡收縮到較小時才會出現(xiàn)明顯差別。

圖4 空泡半徑（左圖）與速度（右圖）的對比Fig.4 Cavity radius and collapse speed with different density ratio

為了看出大氣密度影響下的速度差變化，圖5給出了α=0的空泡半徑變化與速度差之間的關(guān)系，其中。圖6是空泡收縮時的速度平方差與速度平方之比值的關(guān)系圖，它反映了有、無密度影響的空泡潰滅壓力的相對差Δp/p。

圖5 速度差與空泡半徑大小的關(guān)系Fig.5 Speed difference vs.cavity radius

圖6 速度平方的相對誤差Fig.6 The relative error of speed square

從圖5中可看出，當(dāng)α=0的空泡半徑小于1 m之后，速度差就顯著增大。圖6則顯示隨著空泡半徑收縮到0.2 m，不考慮大氣影響的潰滅壓力比考慮大氣的潰滅壓力高85%。

如果初始空泡半徑增加1 m，即R0=4 m，其他條件不變，同樣的計算表明當(dāng)空泡半徑收縮到0.2 m時，不考慮大氣流動的潰滅壓力高95%。因此大氣密度的影響與初始空泡條件有關(guān)，初始空泡越大，密度的影響也就越大。

綜合上述分析表明，如果空泡壓力較大且收縮得不是特別小，密度對空泡潰滅壓力的影響并不明顯；當(dāng)時當(dāng)空泡壓力非常低且空泡收縮較小時，大氣密度的影響就會變得非常顯著，其影響呈非線性式的快速增長。

3 結(jié) 論

本文建立了包含無界大氣和有限水層影響下的兩相空泡動力學(xué)模型，研究了大氣流動及密度的存在對出水空泡潰滅過程的影響。結(jié)論是：相同條件下，大氣密度對潰滅壓力有影響，大氣密度越小，空泡潰滅壓力越大，但是其影響只有當(dāng)空泡收縮較小且收縮速度較大時才顯著。換言之，在工程上評估潰滅壓力時，若僅把大氣作為提供壓力的邊界，而不考慮其密度存在及流動時，空泡潰滅壓力的評估會偏大。本文沒有分析粘性、表面張力、可壓縮性及空泡內(nèi)部的不可凝結(jié)氣體等因素的影響，類似于R-P方程，在兩相空泡動力學(xué)模型中可以增加這些因素進行更全面的研究。

[1]Plesset M S.On the stability of fluid flows with spherical symmetry[J].Journal of Applied Physics,1954,25(1):96-98.

[2]Gilmore F R.The growth or collapse of a spherical bubble in a viscous compressible liquid[Z].1952.

[3]Plesset M S,Chapman R B.Collapse of an initially spherical vapour cavity in the neighbourhood of a solid boundary[J]. Journal of Fluid Mechanics,1971,47(02):283-290.

[4]Blake J R.Cavitation bubbles near boundaries[J].Annual Review of Fluid Mechanics,1987,19(2):99-123.

[5]Yao Xiongliang,Zhang Aman.Simulation of the motion of three-dimensional underwater explosion bubble using simple Green function method(in Chinese)[J].Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2006,38:749-759.

[6]權(quán)曉波,李 巖,魏海鵬,呂海波,辛萬青,魯傳敬.航行體出水過程空泡潰滅特性研究[J].船舶力學(xué),2008,12(4): 545-549. Quan Xiaobo,Li Yan,Wei Haipeng,Lu Haibo,Xin Wanqing,Lu Chuanjing.Cavitation collapse characteristic research in the out-of-water progress of underwater vehicles[J].Journal of Ship Mechanics,2008,12(4):545-549.

[7]魯傳敬,李 杰.水下航行體出水空泡潰滅過程及其特性研究[C].第十一屆全國水動力學(xué)學(xué)術(shù)會議暨第二十四屆全國水動力學(xué)研討會并周培源誕辰110周年紀(jì)念大會文集,2012.

[8]杜特專,黃晨光,王一偉,等.有限水域內(nèi)球形氣泡振動特性及影響參數(shù)研究[J].水動力學(xué)研究與進展,2015,30(1): 1-8. Du Tezhuan,Huang Chenguang,Wang Yiwei,Yu Xianxian,Wu Xiaocui.Study on the vibration characteristics and influence parameters of a sphere bubble within finite field[J].Chinese Journal of Hydrodynamics,2015,30(1):1-8.

[9]陳瑋琪,王寶壽,顏 開,易淑群.空化器出水非定常垂直空泡的研究[J].力學(xué)學(xué)報,2013,45(1):76-83. Chen Weiqi,Wang Baoshou,Yan Kai,Yi Shuqun.Study on the unsteady vertical cavity of the exit-water cavitor[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2013,45(1):76-83.(in Chinese)

[10]Chen Weiqi,Wang B S,Yan K,Sun S.Acting force mechanism of a body crossing the water layer of a cavity[C]. Cav2015,2015.

Research on the influence of the atmosphere to the collapse of the water-exit cavity

CHEN Wei-qi
(China Ship Scientific Research Center,Wuxi 214082,China)

The water-exit cavity is simplified as the problem of the spherical cavity near the water surface, and the two-phase bubble dynamical model under the comprehensive effect of the unbounded atmosphere flow field and the bounded water flow field was established.The influence mechanism of the atmosphere density and flow to the collapse pressure of the water-exit cavity was also studied based this model.The research shows that when the cavity contracts to some small value,the nonlinear dynamic behavior of the cavity can make the perturbation of the atmosphere density and pressure amplified rapidly.Especially on the same initial conditions,the small perturbation of the atmosphere density can lead to an obvious increase of the collapse pressure at the same moment.

water-exit;cavity;collapse;atmosphere;jet

O302 O352

：Adoi:10.3969/j.issn.1007-7294.2017.05.002

1007-7294（2017）05-0528-05

2017-03-06

陳瑋琪（1971-），男，博士，研究員，E-mail：tiger_cwq@aliyun.com。