對一道模擬試題的探究

■江西省豐城中學 吳愛龍 黃園軍

對一道模擬試題的探究

■江西省豐城中學 吳愛龍 黃園軍

題目 (2016年唐山市模擬卷)已知拋物線E:x2=2p y(p＞0),直線y=k x+2與 E交于A、B兩點,且=2,其中O為原點。

(1)求拋物線E的方程;

(2)點C坐標為(0,-2),記直線CA, CB的斜率分別為k1,k2,證明為定值。

解析：下面從題目的解法、結論、變式三個視角進行較為深入的探究,供同學們學習參考。

1.第一問解法探究

思路1直線方程含有一個未知量k,拋物線方程中含有一個未知量p,這樣題中共含有兩個未知量。為了求出k,p的值,必須建立關于k,p的一個二元方程組,并且具備兩個相對獨立的條件。但題設中僅提供了一個條件,怎么辦?思路受阻,難道題目漏掉某個條件?可能是思路出問題了,比方說,可能不需求出或根本求不出k,因為題目中只是需要求出p即可。

思路2欲求拋物線方程,必須求出未知量p的值,另一個量k能否求出無所謂。說不定題設條件=2”中的數“2”本就是一個與k無關的定值呢,不妨試試!

所以拋物線E的方程為x2=y。

思路3由于x1+x2=2p k中含有2個變量,而x1x2=-4p中不含變量k;如果數量積中只含x1x2而不含x1+x2,那么條件=2中就僅含有未知量p。

于是有:

故拋物線E的方程為x2=y。

上述思路,借助拋物線方程x2=2p y來實現將y1y2向x1x2的快速轉化,這是橢圓或雙曲線方程無法辦到的。

2.第一問結論探究

思路2,思路3成功地解答了第一問。相比之下,思路3優于思路2;思路1盡管受阻,但卻提出了一個問題讓我們進行探索,為此我們有以下命題。

命題1已知拋物線E:x2=y,直線y=k x+b交E于A、B兩點,若 (m為定值),則直線y=k x+b恒過一定點。

特別地,令m=2,可知直線y=k x+b恒過一定點(0,2)。

若令m=0,則得推論1:

已知拋物線E:x2=y,直線y=k x+b交E于A、B兩點,若=0,則直線y =k x+b恒過一定點(0,1)。

命題2已知拋物線E:x2=y,直線y= k x+m(m＞0,且為定值)與拋物線E交于A、B兩點,則必為定值。

設A(x1,y1),B(x2,y2),則Δ=k2+4m＞0,且x1x2=-m。

=x1x2+y1y2=x1x2+(x1x2)2=m2-m,顯然為定值。

若令m=1,則得推論2:

已知拋物線E:x2=y,直線y=k x+1與拋物線E交于A、B兩點,則

綜合以上推論1,推論2,便得以下經典結論:

已知拋物線E:x2=2p y(p＞0),直線y=k x+b交拋物線E于A、B兩點,若∠A O B=90°,則直線y=k x+b恒過定點G (0,2p)。

結論 已知拋物線E:x2=2p y(p＞0),直線y=k x+b交E于A、B兩點,且直線恒過定點(0,m)(m＞0),則:

證明與上類似,此處省略。

3.第一問變式探究

倘若把題設中的條件“直線CA,CB”改為“切線CA,CB”,又該如何呢?

變式1已知拋物線E:x2=y,直線y= k x+2與拋物線E交于A、B兩點,過A、B兩點分別作拋物線的切線,則兩切線的交點必落在直線y=-2上。

證明：對y=x2求導數得y'=2x。設A(x1,y1),B(x2,y2),易得拋物線在A、B兩點處的切線方程為:2x1x=y1+y,2x2x= y2+y。

設兩切線交點C的坐標為(x0,y0),則所以A(x1,y1),B(x2,y2)兩點均在直線2x0x=y+y0上。由于過A、B兩點的直線是唯一的,所以有-y0=2,即y0=-2。所以兩切線的交點必落在直線y= -2上。

4.第二問解法探究

思路1由第一問知x1+x2=k,x1x2= -2。

所以,k21+k22-2k2=16。

5.第二問結論探究

先對第二問進行逆向探究,得:

命題3已知拋物線E:x2=y,直線y=k x+b交拋物線E于A、B兩點,點C的坐標為(0,-2)。記直線CA,CB的斜率分別為k1,k2,若k21+k22=2k2+16,則當(b+2)· k2≠2b(b-2)時直線y=k x+b恒過一定點。

設A(x1,y1),B(x2,y2),則于是=2k2+8。

將x1+x2=k,x1x2=-b代入整理得(b2-4)k2=2b(b2-4b+4)=2b(b-2)2。

顯然當且僅當b=2時,上述等式恒成立,所以直線y=k x+b恒過一定點D(0,2)。

命題4已知拋物線E:x2=y,直線y= k x+2交拋物線E于A、B兩點,設點C的坐標為(0,b)。記直線CA,CB的斜率分別為k1,k2,若k21+k22=2k2+16,則b=-2。

證明過程與命題3的證明過程類似,此處省略。

6.第二問變式探究

變式2已知拋物線E:x2=y,直線y= k x+m(m＞0,且為定值)交拋物線E于A、B兩點。設拋物線在A,B兩點處的切線斜率分別為k1,k2,則k21+k22-4k2=8m。

k21+k22-4k2=4x21+4x22-4k2

=4[(x1+x2)2-2x1x2-k2]

=-8x1x2=8m。

變式3已知拋物線E:x2=y,直線y= k x+m(m＞0,且為定值)交拋物線E于A、B兩點,點C的坐標為(0,-m)。記直線CA, CB的斜率分別為k1,k2,則k1+k2=0。

證明：聯立y=k x+m, x2=y{消元得x2-k xm=0,并且Δ=k2+4m＞0。設A(x1,y1), B(x2,y2),則x1+x2=k,x1x2=-m。所以,同理可得k2=所以k1+k2=(x1+x2)+

(責任編輯 徐利杰)