淺談復數模的應用

■河南師范大學附屬中學 郭家慧(指導老師:孟召臣)

淺談復數模的應用

■河南師范大學附屬中學 郭家慧(指導老師:孟召臣)

復數在中學數學中涉及面比較廣,知識跨度比較大,能與代數、三角、解析幾何等知識融為一體。特別是復數的模,因其兼具絕對值、向量的模以及非負實數等多重身份,是代數求值、研究圖形變換、探求軌跡方程的有力武器。下面結合一些具體的實例淺談一下復數模的簡單應用。

一、利用復數模的性質速算

點評:如果本例先化簡,再求模,那么運算量很大,而充分利用復數模的運算性質則可使運算過程大大簡化。

二、利用復數模的幾何意義求軌跡

復數模的幾何意義:若z=a+bi,則z 的幾何意義為復平面上的點(a,b)到原點的距離。

z-z0表示復平面內z和z0所對應的兩點之間的距離。已知z0=1+i,z-z0=1,z'

=1-iz,若復數z'在復平面內對應的點為1+iz

P,求動點P的軌跡。

所以z'+1+2i=z'+1,點P的軌跡為連接定點Z1(-1,-2),Z2(-1,0)的線段的中垂線。

點評:本題先通過復數的基本運算,充分利用z-z0=1這一條件快速簡化點P所對應的復數所滿足的條件,再結合復數模的幾何意義得到動點P的軌跡。

三、利用復數模的幾何意義求最值

已知z =1,求|z-(1+i)|的最大值和最小值。

圖1

解析：|z|=1表示以原點為圓心1為半徑的圓,|z-(1+i)|表示圓上的點到定點A (1,1)的距離(如圖1)。由于點A到原點的距離是2,因此圓上的點到點A的最大距離是2+1,最小距離是2-1,因此|z-(1+i)|min= 2-1,|z-(1+i)|max= 1+2。

點評:如果用代數法,設z=x+yi,再用二次函數去求解就會非常麻煩,而利用復數模的幾何意義可使得本題的結論變得顯然。

練一練：

(責任編輯 徐利杰)