淺談選修2-2競賽題命題規律

■廣東省興寧市第一中學 藍云波 ■安徽省靈璧縣第一中學 鄭 良

淺談選修2-2競賽題命題規律

■廣東省興寧市第一中學 藍云波 ■安徽省靈璧縣第一中學 鄭 良

導數是高中數學的重要內容和考點,在研究函數時具有重要的應用。導數在高中數學競賽中考查的頻率也頗高,且命題靈活,綜合度高,因而具有一定的難度和挑戰性。推理與證明蘊含著許多數學思想,解題時具有獨特的技巧與方法,因此推理與證明也是競賽中重點考查的內容。而復數在高中數學中自成體系,具有一定的獨立性,但以復數為背景的各類試題頻現,并且復數也是解決其他問題的有力工具。在競賽試題中主要考查復數的有關概念,復數的代數形式、三角形式及其運算,在復數集中解方程,以及構造復數解其他數學問題等。

下面結合數學選修2-2的相關內容,以2016年全國部分省市競賽題為載體,分析與總結相關試題的命題方向及其解題策略,以期對同學們備戰高中數學競賽、自主招生以及高考有所幫助。

一、競賽知識點補充梳理

同學們除掌握課本的基礎知識外,還應掌握以下知識點。

1.第二數學歸納法原理與證明步驟

第二數學歸納法原理是設有一個與自然數n有關的命題,如果:

①當n=1時,命題成立;

②假設當n≤k時命題成立,由此可推得當n=k+1時,命題也成立。

那么據①②可得,命題對于一切自然數n都成立。

2.復數的三角形式

(1)復數的三角形式的乘除法運算法則:

④復數z=r(co sθ+i s i nθ)的n次方根為:nr,k=0,1, 2,…,n-1,n次方根共有n個。

二、命題規律揭示

題型一、利用導數判斷函數零點個數

(2016年福建省預賽)函數f(x) =x2l nx+x2-2零點的個數為____。

解析：f'(x)=2xl nx+x+2x= x(2l nx+3),令f'(x)=0,得x=e-3

2。

所以函數f(x)的零點個數為1。

點評:函數零點個數的判斷,通常通過求導得出函數的單調性,再結合零點存在定理,判斷出函數零點的個數,整個過程運用了數形結合的思想方法。

題型二、利用導數證明不等式

設f(x)=t anx+2s i nx-3x(0＜x≤1),故只需證明當x∈0,1(]時,f(x)＞0即可。

設g(x)=2co s3x-3co s2x+1(0＜x≤1),則g'(x)=-6co s2xs i nx+6co sxs i nx =6s i nxco sx(1-co sx)＞0,所以g(x)在(0,1]上單調遞增,則x∈(0,1]時,g(x)＞g(0)=0,因此,f'(x)＞0,f(x)單調遞增,則f(x)＞0。

點評:本題通過代數變形后構造函數,轉化為證明函數的單調性,借助導數證明函數的單調性時,使用了二次求導這一核心思想,是一道融會知識與能力的好題。

題型三、綜合法

(2016年河南省競賽)已知不等式l n(x+1)≤x對一切x∈(-1,+∞)均成立。證明:不等式(x-1)(e-x-x)+2l nx＜在x∈(0,+∞)時恒成立。(其中e= 2.71828…)

證明：因為x∈(-1,+∞)時,l n(x+1)≤x,所以x∈(0,+∞)時,l nx≤x-1。

(x-1)(e-x-x)+2l nx＜(x-1)· (e-x-x)+2(x-1)=(x-1)(e-x-x+2)。

①當x∈(0,1)時,(x-1)(e-x-x+2)

綜上,命題得證。

點評:本題從已知條件的重要不等式l n(x+1)≤x出發直接進行證明,思路自然,過程流暢。實際上綜合法是最常用的證明方法。在各類考試中,以l n(x+1)≤x為題根的試題屢見不鮮,應引起足夠的重視,而且這個不等式源于課本習題上的重要不等式ex≥x+1。

題型四、分析法

(2016年安徽省預賽)證明:對任意的實數a,b,c都有,并求等號成立的充分必要條件。

不等式成立的必要條件是a(b-c)=0。

當a=0時不等式等號成立等價于bc≥0,當b=c時,不等式等號成立。

綜上所述,不等式等號成立的充分必要條件是a=0且bc≥0或b=c。

點評:本題沒有更多的已知條件,所以直接使用綜合法證明問題比較困難,故可逆向思考,運用分析法證明問題,逐步尋求使它成立的充分條件,直到歸結為判定一個顯然成立的條件為止。

題型五、反證法(2016年江西省競賽)如果實數集合A中的全體元素可以排成一個等比數列,就稱A是一個幾何集。例如無窮集合A ={3,15,5,…}就是一個幾何集。試確定是否存在7個幾何集A1,A2,…,A7,使得它們的并集元素中,包含有前50個正整數,即M?A1∪A2∪…∪A7,其中M= {1,2,…,50},并證明你的結論。

解析：不存在,首先證明,任意一個幾何集中至多含有兩個質數。下面用反證法證明之,假設某個幾何集G的元素中含有三個質數x,y,z,其中x＜y＜z,若其首項為a,公比為q,記x=aqm,y=aqn,z=aqk,其中正整數m＜n＜k。

所以yk-m=xk-n·zn-m,這與y是質數矛盾!

故假設不成立,所以任意一個幾何集中至多含有兩個質數。

于是7個幾何集A1,A2,…,A7的并集中,至多含有14個質數,而M= {1,2,…,50}含有15個質數2,3,5,7,…, 47,因此,滿足條件的7個幾何集不存在。

點評:因為幾何集的元素排成一個等比數列,而質數除了1和本身沒有其他正因數,故可考查幾何集中的質數個數情況。容易發現幾何集中最多含有兩個質數,但不易直接證明,故可使用反證法,使用反證法,首先假設某命題不成立,然后推理出明顯矛盾的結果,從而假設不成立,原命題得證。

題型六、數學歸納法

(1)求a的值;

(2)已知數列an{}滿足a1=1,an+1= f(an)+2(n∈N+),設Sn=[a1]+[a2]+[a3]+…+[an],其中[m]表示不超過m的最大整數,求Sn。

當a≤0時,f'(x)＞0,則f(x)在(0, +∞)上單調遞增,無最小值,不合題意。

當a＞0時,若0＜x＜a,則f'(x)＜0;若x＞a,則f'(x)＞0。所以函數f(x)在(0,a)上單調遞減,在(a,+∞)上單調遞增。

所以f(x)min=f(a)=l na-a+1。

若0＜a＜1,則g'(a)＞0;若a＞1,則g'(a)＜0。所以函數g(a)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減,因此g(a)≤g(1)=0,當且僅當a=1時,等號成立。

故當a=1時,f(x)取得最小值0。

由a1=1,得a2=2。從而因為,所以2＜a3＜3。

下面用數學歸納法證明:當n≥3時,2＜an＜3。

①當n=3時,結論已成立。

②假設n=k(k≥3)時,2＜ak＜3。那么,當n=k+1時,有

所以h(2)＜h(ak)＜h(3),即,所以2＜h(ak)＜3,即2＜ak+1＜3。即當n=k+1時,結論也成立。

由①②可知,對一切正整數n≥3,2＜an＜3。

由[a1]=1,[an]=2(n≥2),得Sn= [a1]+[a2]+[a3]+…+[an]=1+2(n-1) =2n-1。

點評:對于本題,無法直接求出數列的通項公式,通過觀察發現本題含有取整函數,即高斯函數。故可研究數列的通項的大致范圍,通過計算,可猜測n≥3時,2＜an＜3。但是難以直接證明,故可考慮數學歸納法,使用數學歸納法的關鍵是證明從n=k過渡到n =k+1的情形。

題型七、復數的四則運算

(2016年安徽省競賽)設i為虛數單位,化簡(i+1)2016+(i-1)2016=____。

解析：因為i+1()2=i2+2i+1=2i,所以

i+1()2016=21008。

又因為i-1()2=i2-2i+1=-2i,所以i-1()2016=-2()1008=21008。

所以i+1()2016+i-1()2016=21009。

點評:本題考查了復數的四則運算,嫻熟的運算能力,公式的合理使用是解題的關鍵,還可通過復數的三角形式求解。

題型八、復數的三角形式

A.-1 B.-i C.i D.1

點評:本題考查了復數的三角形式及其運算,將復數的代數形式轉化為三角形式是解題的關鍵,三角函數的誘導公式的使用是成功解題的保證。

題型九、共軛復數

點評:復數a+bi的共軛復數為a-bi,共軛復數的求解應在標準形式進行,否則會出現錯誤。本題還可利用復數的結構特點及性質求解達到事半功倍的效果。

題型十、復數的模

解析：設z=a+bi(a,b∈R),x=x0是方程+i=0的一個實數根,則+i=0,即x20-2ax0+

消去x0,并化簡可得

所以z 的最小值為1。

點評:本題以方程為背景考查了復數相等和復數的模的概念,并與基本不等式交匯,體現出在知識的交匯處命題的思路。復數除與基本不等式交匯外,還經常與解析幾何、導數、柯西不等式、線性規劃等知識點進行交匯。

通過對2016年競賽題的分析,我們發現,涉及數學選修2-2的競賽題具有一定的靈活性和難度,但并非高不可攀。只要我們多總結,對命題規律進行必要的挖掘,并結合一定的練習,就能做到心中有數、觸類旁通。

(責任編輯 徐利杰)