Exe-Variant并聯模塊靜剛度分析

陶兆勝 彭 澎 趙艷芹

(安徽工業大學機械工程學院, 馬鞍山 243032)

Exe-Variant并聯模塊靜剛度分析

陶兆勝 彭 澎 趙艷芹

(安徽工業大學機械工程學院, 馬鞍山 243032)

由于良好的剛度和動力學性能，Exechon并聯機構已被應用于加工、制造、航空航天等領域，但Exechon并聯模塊的轉動能力較弱，導致其工作空間較小。為此，以機構變異方法設計構型為2RPU&1RPS的Exe-Variant并聯模塊。為研究Exe-Variant并聯模塊的剛度性能，采用子結構綜合技術建立了該并聯模塊的剛度模型。建模時，將機構劃分成若干子系統，并計入關節和支鏈彈性對整機剛度的影響。基于所建剛度模型，研究了Exe-Variant并聯模塊整機剛度在其工作空間內的分布特性，并進行了機構關鍵設計參數和機構關節處彈性變形對整機剛度的影響分析。結果表明，該模塊的剛度分布在工作全域內呈現出對稱性，模塊關鍵設計參數和機構關節處彈性變形對整機的剛度性能影響較大。

Exe-Variant; 并聯機構; 靜剛度; 子結構綜合

引言

Exechon并聯模塊作為少自由度的2UPR&1SPR并聯機構，國內外學者對其運動學、剛度以及動力學開展了大量研究[1-11]。HUANG等[12]借助有限元軟件對Exechon的工作全域進行了動力學仿真研究。LIAN等[13]基于子結構綜合結合雅克比矩陣和相互關聯轉動關節的變形影響考慮機構的剛度映射。在設計階段，曲海波等[14-15]運用半解析模型快速預估工作全域內的剛度特性。LI等[16]運用旋量理論和虛功原理建立ExechonX150的剛度模型，分析機構特定位姿下的剛度并將其與有限元仿真做了對比。陳修龍等[17]采用ADAMS軟件對5自由度并聯機構的運動學進行了模擬仿真。季曄等[18]建立了4-SPxyzS/PxPzUxz并聯機構的位置和姿態工作空間，并提出“點集”近似計算和敏感度概論，利用數值法求解了位置工作空間大小和姿態工作空間范圍與機構尺度參數之間的關系。

筆者團隊在前期研究中，采用機構變異方法設計Exe-Variant并聯模塊并進行了剛度建模研究[19-20]。在此基礎上，本文研究Exe-Variant并聯模塊在工作全域的靜剛度映射，并進行其靜剛度參數影響分析，以期為改善該并聯模塊的剛度性能提供一定的理論依據。

1 機構描述

Exe-Variant動力頭主要由2自由度串聯轉頭和Exe-Variant并聯模塊組成，如圖1所示。其中，Exe-Variant并聯模塊主要由動平臺、靜平臺和3條過約束支鏈組成。支鏈1和支鏈2的拓撲結構相同，分別通過轉動副R、虎克鉸U與靜平臺、動平臺連接。支鏈3的結構與支鏈1、2略有不同，其通過球鉸S副與動平臺相連。

圖1 Exe-Variant實體模型Fig.1 Model of Exe-Variant

從機構學的角度來看，Exe-Variant并聯模塊的拓撲結構為2RPU&1RPS，其機構簡圖如圖2所示。圖中，△A1A2A3和△B1B2B3分別表示動平臺及基座，且設定為等腰直角三角形，其中∠A1A3A2=∠B1B3B2=90°。A1、A2分別表示支鏈1、2上虎克鉸的幾何中心；A3表示支鏈3上球鉸的幾何中心；Bi(i=1,2,3)表示支鏈i上轉動副的幾何中心；Ci(i=1,2,3)表示支鏈i末端[20]。

2 靜剛度預估與分析參數

根據Exe-Variant并聯模塊的結構特點，將系統劃分成動平臺子系統、支鏈子系統和基座子系統。由于動平臺和基座的剛度相對較大，故建模時將其視為剛體。為計入支鏈柔度和復雜結構對系統剛性的影響，采用有限元的思想將支鏈劃分成具體等效截面的空間梁，如圖3所示。

圖2 Exe-Variant機構簡圖Fig.2 Schematic diagram of Exe-Variant PKM

圖3 支鏈的裝配示意圖Fig.3 Assembling scheme of an individual limb1.球鉸/虎克鉸 2.前端軸承 3.滾珠絲杠 4.導軌 5.轉動副6.末端軸承 7.電動機

根據支鏈截面的變化情況，將支鏈的截面處理為如圖3所示的矩形截面Ⅰ和Ⅱ。其中，截面Ⅰ表示AiDi段的等效截面；截面Ⅱ表示DiCi段的等效截面。圖中，w0、h0分別表示矩形截面Ⅰ的等效寬度和高度；w1、w2、h1、h2分別表示矩形截面Ⅱ的外部和內部的等效寬度和高度。

計入支鏈子系統和動平臺子系統間的變形協調條件，可得到系統的剛度模型為

KU=W

(1)

式中U——系統在全局坐標系Bxyz下的位移矩陣

K——系統在全局坐標系Bxyz下的剛度矩陣

W——系統在全局坐標系Bxyz下的載荷矩陣

具體的推導過程可參照文獻[20]。

以文獻[20]的Exe-Variant并聯模塊為例，對其進行靜剛度映射和靜剛度參數影響分析。表1、2分別給出了該并聯模塊的幾何參數和關節剛度參數[20]。

表1中，s為動平臺的行程；l為支鏈的物理長度；ψmax和θmax分別為偏轉角ψ和θ的最大值。

表1 Exe-Variant并聯模塊幾何結構參數

圖4 工作平面z=1 200 mm上Exe-Variant并聯模塊的靜剛度映射Fig.4 Stiffness distributions over work plane of z=1 200 mm

參數kulx0/(N·μm-1)kuly0/(N·μm-1)kulz0/(N·μm-1)數值112214100參數kulw0/(MN·rad-1)kusx0/(N·μm-1)kusy0/(N·μm-1)數值242323參數kusz0/(N·μm-1)kusw0/(MN·rad-1)kucx0/(N·μm-1)數值62318676參數kucy0/(N·μm-1)kucz0/(N·μm-1)kucw0/(MN·rad-1)數值44634818參數krx0/(N·μm-1)kry0/(N·μm-1)krz0/(N·μm-1)數值3805301006參數krv0/(MN·rad-1)krw0/(MN·rad-1)kslx0/(N·μm-1)數值1818112參數ksly0/(N·μm-1)kslz0/(N·μm-1)kssx0/(N·μm-1)數值21410023參數kssy0/(N·μm-1)kssz0/(N·μm-1)kscx0/(N·μm-1)數值23623676參數kscy0/(N·μm-1)kscz0/(N·μm-1)數值446348

各關節在其連體坐標系下的剛度如表2所示。

表2中，kuij(i=l,s,c;j=x,y,z,w)分別為虎克鉸長軸l、短軸s和交叉軸c在3個正交方向的線剛度和角剛度；krx0、kry0和krz0分別為轉動副在3個正交方向的線剛度；krv0和krw0分別為轉動副繞其自身坐標系y和z軸的角剛度；ksij(i=l,s,c;j=x,y,z)分別為球鉸長軸l、短軸s和交叉軸c在3個正交方向的線剛度。

3 工作空間內的靜剛度映射

為分析Exe-Variant并聯模塊的靜剛度映射，采用“分層切片”思想，將工作空間離散成若干個工作平面，再結合運動學逆解獲得各工作平面上任一點所對應的機構位姿下的靜剛度。本文選取其工作平面為z=1 200 mm，分析在u、v和w方向的主剛度分布，如圖4所示。

由圖4可知，Exe-Variant并聯模塊各方向剛度隨位姿變化。其中，u方向的線剛度k11的變化范圍為[9.75, 73.4] MN/m；v方向的線剛度k22的變化范圍為[14.2, 57.4] MN/m；w方向的線剛度k33的變化范圍為[88.5, 169] MN/m；u方向角剛度k44的變化范圍為[35.1, 44.5] MN·m/rad；v方向角剛度k55的變化范圍為[23.9, 29.3] MN·m/rad；w方向角剛度k66的變化范圍為[3.4, 20.9] MN·m/rad。Exe-Variant并聯模塊各方向剛度關于平面ψ=0°對稱分布，這與初始位置時支鏈1、2關于支鏈3對稱這一結構特點有關。該并聯模塊w方向的線剛度k33較其他2個方向的線剛度大得多，而該方向的角剛度k66較其他2個方向的角剛度小得多，表明該模塊在軸向具有較強的抵抗外力變形的能力。

由圖4也可知，Exe-Variant并聯模塊同一方向的線剛度和角剛度呈現出開口方向相反的規律。例如，Exe-Variant并聯模塊u方向的線剛度k11在θ=0°兩側隨著θ絕對值的增大而增大(開口向上)，而u方向的角剛度k44在θ=0°兩側隨著θ絕對值的增大而減小(開口向下)；v方向的線剛度k22在ψ=0°兩側隨著ψ絕對值的增大而增大(開口向上)，v方向的角剛度k55的ψ=0°兩側隨著ψ絕對值的增大而減小(開口向下)；w方向的線剛度k33開口向下，w方向的角剛度k66開口向上。

4 靜剛度參數影響分析

圖5所示為Exe-Variant并聯模塊的靜剛度隨動平臺、基座半徑的變化曲面。

圖6所示為Exe-Variant并聯模塊的靜剛度隨支鏈機座截面尺寸的變化曲面。圖中，δh和δw分別表示支鏈的等效高度和等效寬度的增量。

由圖5a、5b可知，Exe-Variant并聯模塊u方向的線剛度k11以及v方向的線剛度k22均隨著動平臺

半徑rp的增大而減小，隨著基座半徑rb的增大而增大。由圖5c、5f可知，w方向的線剛度k33以及該方向的角剛度k66均隨著動平臺半徑rp的增大而增大，隨著基座半徑rb的增大而減小。由圖5d、5e可知，u方向的角剛度k44以及v方向的角剛度k55均隨著動平臺半徑rp和基座半徑rb的增大而增大。另外，動平臺半徑rp和基座半徑rb對各方向靜剛度的影響程度不同。例如，動平臺半徑rp對w方向的線剛度k33以及該方向的角剛度k66的影響較大，而對其他方向的剛度影響較小；而基座半徑rb對u方向的線剛度k11及該方向的角剛度k44、v方向的線剛度k22及該方向的角剛度k55

圖5 Exe-Variant并聯模塊的靜剛度隨動平臺、基座半徑的變化曲面Fig.5 Variations of stiffness with respect to radii of platform and base

圖6 Exe-Variant并聯模塊的靜剛度隨支鏈截面尺寸的變化曲面Fig.6 Variations of stiffness with respect to cross-section of limb body

影響較大，對其他方向的剛度影響較小。

由圖6各方向靜剛度隨δh和δw的變化曲面可知，隨支鏈機座截面尺寸的增大，整機剛度逐漸增大。

關節處的彈性變形對整機剛度的影響不可忽略，但因篇幅有限，現以虎克鉸剛度為實例分析。定義虎克鉸長軸x方向線剛度的放大因子λulx和整機剛度的放大因子ki為

圖7 整機剛度比例系數隨虎克鉸剛度的變化曲線Fig.7 Variation curves of stiffness with respect to Hooke-joint stiffness coefficient

(2)

(3)式中kulx0——虎克鉸長軸x方向初始線剛度(表2)kulx——虎克鉸長軸x方向的當前線剛度kii0——模塊處于初始位姿z=1 200 mm、θ=0°、ψ=0°時整機的剛度

kii——整機當前剛度

整機剛度比例系數隨虎克鉸剛度的變化曲線如圖7所示。其中，λulx、λuly、λulz和λulw分別為長軸x、y、z3個方向的線剛度放大因子以及z方向的角剛度放大因子；λusx、λusy、λusz和λusw分別為短軸x、y、z3個方向的線剛度放大因子以及z方向的角剛度放大因子；λucx、λucy、λucz和λucw分別為交叉軸x、y、z3個方向的線剛度放大因子以及z方向的角剛度放大因子。上述放大因子數學公式定義類似式(2)。

由圖7a、7e、7i可知，隨著長軸、短軸、交叉軸x方向線剛度的增大，u方向線剛度k11和v方向角剛度k55以及w方向角剛度k66單調遞增；由圖7c、7g、7k可知，隨著長軸、短軸、交叉軸z方向線剛度的增大，v方向線剛度k22、w方向線剛度k33和v方向角剛度k44逐漸增大。從以上分析可知，整機剛度隨虎克鉸x方向線剛度和z方向線剛度的增大而增大。而圖7b、7d、7f、7h、7j、7l反映整機剛度不隨長軸、短軸、交叉軸y方向線剛度和z方向角剛度的變化而變化，即球鉸y方向線剛度和z方向角剛度對系統剛度無影響。從數值上進行考慮，虎克鉸z方向線剛度對整機剛度的影響與x方向線剛度相比較大，故在進行虎克鉸的結構設計時，需適當考慮長軸、短軸和交叉軸的z方向線剛度。

5 結論

(1) Exe-Variant并聯模塊在工作空間內的剛度映射表明：該機構各方向剛度關于平面電動機對稱分布。

(2) 為剖析Exe-Variant并聯模塊的關鍵設計參數對整機剛度性能的作用規律，進行了靜剛度的參數影響分析。分析表明：動平臺半徑、支鏈的截面尺寸和關節處的彈性變形會對整機的剛度性能產生重大影響。在進行該類少自由度并聯機構的結構設計時，可適當調整該類關鍵設計參數以滿足整機對剛度的要求。

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Stiffness Analysis for Exe-Variant Parallel Kinematic Machine

TAO Zhaosheng PENG Peng ZHAO Yanqin

(SchoolofMechanicalEngineering,AnhuiUniversityofTechnology,Maanshan243032,China)

Exechon parallel kinematic machine (PKM) has been applied to machining, assembling and aerospace industries due to its high rigidity and high dynamics. However, its rotational ability is comparatively weak. In order to improve the rotational ability of the Exechon PKM, an Exe-Variant PKM was proposed whose topology was a 2RPU&1RPS parallel mechanism. And the mechanical structure of the proposed Exe-Variant PKM was designed. In order to achieve a thorough understanding of stiffness characteristics of the Exe-Variant PKM, the stiffness model of the parallel module was designed by substructure synthesis technique. According to its structure feature, the Exe-Variant PKM was divided into several subsystems, including a moving platform subsystem, three limb subsystems and a fixed base subsystem. Meanwhile, the elasticity of joints and limbs was considered. Based on the proposed stiffness model, the stiffness distributions throughout the workspace were discussed and the parameters analysis on the stiffness of an Exe-Variant PKM was conducted. Results showed that the stiffness distributions of the Exe-Variant PKM were symmetric about a certain plane throughout the workspace, and the key design parameters had a great influence on the rigidity of the Exe-Variant PKM. Furthermore, the elastic deformation of joints seemed to have a greater influence on stiffness inzdirection than those inxandydirections of the Exe-Variant PKM. It was worthy to point out that the analysis conducted can provide theoretical foundation for structure optimization.

Exe-Variant; parallel kinematic machine; stiffness; substructure synthesis

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.04.050

2016-07-21

2016-09-02

高性能復雜制造國家重點實驗室(中南大學)開放基金項目(Kfkt2013-12)

陶兆勝(1970—)，男，副教授，主要從事機械設計和機器視覺研究，E-mail： trobert@ahut.edu.cn

TH112

A

1000-1298(2017)04-0377-06