強G-預不變凸函數

李 婷

(山西大學商務學院 基礎教學部,太原 030031)

強G-預不變凸函數

李 婷

(山西大學商務學院 基礎教學部,太原 030031)

主要以強G-預不變凸函數為研究對象，首先在中間點的G-預不變凸性下得到了G-預不變凸函數的一個判定定理，然后將已有文獻的結果進行了推廣，得到了在中間點的強G-預不變凸性下強G-預不變凸函數的兩個重要的判定定理。

強G-預不變凸函數；嚴格G-預不變凸函數；半嚴格G-預不變凸函數

0 引言

在研究最優化問題時，凸性和廣義凸性起著很重要的作用。近年來，國內外很多學者將凸函數不斷進行推廣，得到了一系列的廣義凸函數及其相關成果，具體見參考文獻[1-8],這些文獻詳細介紹了不變凸性、預不變凸性、強預不變凸性、G-預不變凸性、強G-預不變凸性等，并給出了這些廣義凸函數的性質。

2011年，彭再云等在文獻[8]中給出了強G-預不變凸函數的如下的一個判定定理。

本文首先得到了半嚴格G-預不變凸函數是G-預不變凸函數的一個充分條件，然后將上述引理的結果進一步推廣，得到了強G-預不變凸函數的另外兩個判定定理。

1 基本知識

時上述不等式嚴格成立，即：

定義4[8]設集合K?Rn是關于η：Rn×Rn→Rn的不變凸集，f:K→R是定義K上的函數，稱f是K上關于η的強G-預不變凸函數，如果存在連續遞增函數：

2 半嚴格G-預不變凸函數是G-預不變凸函數的一個充分條件

引理2.1 設G：R→R是一個連續實值函數，則G-1是遞增函數當且僅當G也是遞增函數。

(1)

因為G單調遞增，由引理2.1可知，G-1也是單調遞增的。

(2)

(3)

由f的半嚴格G-預不變凸性，引理2.1及(3)式可得：

上式與(2)式矛盾。

由f的半嚴格G-預不變凸性，引理2.1及(3)式可得：

上式與(2)式矛盾。故假設不成立，所以f是K上關于η的G-預不變凸函數。

3 強G-預不變凸函數的兩個判定定理

(4)

則f是K上關于η的強G-預不變凸函數。

(5)

(6)

由條件C可得：

(7)

(8)

由(4)和(7)式可得：

(9)

又由(6)式有：

(10)

所以，由(8)、(9)及(10)式可得：

于是，f是K上關于η的強G-預不變凸函數。

(11)

則f是K上關于η的強G-預不變凸函數。

(12)

由定理2.1及(12)式知f是K上關于η的G-預不變凸函數，從而由引言中的引理得，f是K上關于η的強G-預不變凸函數。

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[8] 彭再云, 房效亮, 趙勇. 強G-預不變凸函數[J]. 重慶師范大學學報(自然科學版), 2011, 28(6):7-10+18.

責任編輯：程艷艷

StrongG-PreinvexFunctions

LITing

(FundamentalTeachingDepartment,BusinessCollegeofShanxiUniversity,Taiyuan030031,China)

Taking strongG-preinvexfunctionastheresearchobject,thispaperobtainsajudgingtheoremofG-preinvexfunctiononthemiddlepointofG-preinvexity,andthengeneralizestheresultsoftheexistedliterature,finally,obtainstwoimportantjudgingtheoremsofstrongG-preinvexfunctiononthemiddlepointofstrongG-preinvexity.

strongG-preinvexfunction；strictG-preinvexfunction；semi-strictG-preinvexfunction

2017-02-18

山西省教育科學“十三五”規劃課題(GH—16713)；山西大學商務學院科研項目(2016027)

李婷(1981-)，女，山西永濟人，講師，碩士，主要從事最優化理論及應用方面研究。

O

A

1009-3907(2017)04-0025-04