等粒徑球體三維體心立方堆積體接觸力傳遞模型研究

張春光

（上海市政工程設計研究總院（集團）有限公司，上海市 200092）

等粒徑球體三維體心立方堆積體接觸力傳遞模型研究

張春光

（上海市政工程設計研究總院（集團）有限公司，上海市 200092）

基于等粒徑球體三維體心立方堆積體的排列特點，提出了力均勻傳遞分配等五條基本假設，建立了豎向均布荷載作用下，等粒徑球體三維體心立方堆積體中接觸力豎向分量的計算模型，并利用該模型計算了相應堆積體中不同位置處的球體的接觸力豎向分量，分析了堆積體內部接觸力的理論分布規律。

三維體心立方堆積；接觸力傳遞模型；接觸力分布規律

0 引言

顆粒堆積體的研究及其工程應用是近年來多學科交叉發展研究起來的一門新興學科，在路基填筑、堤壩填筑等工程技術研究中得到了較廣泛的應用[1]。顆粒堆積體內部接觸力的大小及分布規律決定著堆積體的宏觀力學性能，由于堆積體中顆粒具有明顯的離散性，傳統的連續介質彈性理論在揭示堆積體中接觸力分布規律方面適用性不足。因此探索研究荷載作用下顆粒堆積體中的接觸力傳遞模型，對于揭示堆積體中接觸力的分布規律，分析堆積體力學性能宏觀表現的內在原因，解決堆積體實際工程問題有著重要的意義。

荷載在顆粒堆積體中的傳遞，可看作從堆積體頂層荷載作用位置出發，沿深度方向層層傳遞擴散的過程，荷載的傳遞規律與顆粒間的接觸位置和接觸狀態有關[2]。本文基于靜力平衡理論，結合堆積體中顆粒排列的特點，提出合理的假設，建立了豎向均布荷載作用下，三維體心立方堆積體中接觸力的理論傳遞模型，并分析了堆積體中接觸力的理論分布規律。

1 接觸力傳遞模型研究現狀簡析

大量的堆積體接觸力檢測試驗結果[3，4]表明，堆積體中接觸力的峰值并非總是出現在外荷載作用線穿過的顆粒處，接觸力存在雙峰現象，且并非全部球體都分擔外荷載，這與傳統的彈性力學理論得到的結果不符。許多學者[5，6]從上述試驗現象出發，探索了二維堆積體中接觸力傳遞的理論模型。

劉建國[7]參考布辛涅斯克關于二維各向同性半無限線彈性體應力的推導成果，推導得到了顆粒在點荷載作用下的應力，并用光彈試驗驗證了推導結果。蘇梁等[8]用解析法推導得到了外荷載作用下堆積體中的力鏈分布，并通過PFC2D模擬了雙軸試驗，在其他參數固定，僅改變應力水平的實驗條件下，得到了相應的力鏈分布，發現二者結果定性吻合。

蔣紅英[5，9]應用隨機理論，將力的傳遞分為平均分配部分和波動量兩部分，得到了二維緊密排列堆積體的豎向力的傳遞方程，定性地分析了相應排列方式下理想剛性顆粒堆積體中的底層接觸力的變化規律。魯進步等[9]應用隨機理論，將顆粒間的力的傳遞特性分為等概率傳遞和單邊偏移兩種情況，建立了有序對稱排列的二維顆粒堆積體中堆積體內部接觸力的傳遞模型，并將該模型用于五層顆粒堆的力的傳遞分析，發現傳遞模型的理論分析結果與相應模型的光彈試驗的實驗結果定性吻合。

總體而言，堆積體中接觸力傳遞的理論模型的研究，目前仍處于初級階段，現有的理論模型尚不能同時定量和定性地解釋堆積體中接觸力的分布規律性[5]。

2 堆積體接觸力傳遞模型

本文參考蔣紅英[5，9]的研究成果，將力的傳遞部分分為平均分配部分和波動量兩部分，并假設力波動量為零，提出了相應的基本假設，得到了如圖1所示的等粒徑球體三維體心立方堆積體中接觸力的傳遞模型。

圖1 豎向均布荷載作用下三維體心立方堆積體接觸力傳遞模型推導示意圖

圖1中，Am/x/y表示第m層投影平面位置坐標為（x，y）處的球體，第m-1層中與Am/x/y球體緊鄰的 4 個球體分別為 Am-1/x-1/y-1、Am-1/x-1/y+1、Am-1/x+1/y-1、Am-1/x-1/y+1，由此可以確定堆積體中任意位置處球體的編號。

2.2.1 基本假設

堆積方式不同，堆積體的空隙率、配位數等堆積狀態參數也將不同，堆積體在荷載作用下的力學響應也會有所差別。

圖1所示的三維堆積體中球體層間交錯排列，荷載傳遞的同時伴隨著擴散。參考文獻[5]的研究成果，在建立堆積體接觸力傳遞模型時提出以下基本假設：

（1）顆粒單元為等粒徑球體；

（2）顆粒間接觸位置處無切向力；

（3）只考慮豎向力的傳遞，橫向力相互平衡；

（4）堆積體中遠離邊界處的單個球體受上層四個球體傳遞下來的力，且將力均勻傳遞給下層的四個鄰近球體，緊鄰邊界處的球體將力均勻傳遞給下層鄰近的一個或者兩個球體；

（5）球體的位移和形變不改變力的傳遞路徑。

2.2.2 堆積接觸力傳遞模型的建立

由基本假設可知，圖1所示的三維堆積體中，緊鄰邊界的球體所承擔的豎向力分量只能完全分配給下層緊鄰的一個球體或者兩個球體，此時的力的分配比率為1或者1/2，其它位置處球體力的分配率均為1/4，由此可得均布荷載作用下三維體心立方堆積體中豎向力分量傳遞的通項公式，如式（1）所示：

通項公式（1）即為等粒徑球體三維體心立方堆積體，在理想堆積狀態下（力波動量為零）的接觸力豎向分量傳遞計算模型。

其中，fm-1/x-1/y-1為第 m 層中球體 Am-1/x-1/y-1的豎向力的分配比率；同理，fm-1/x-1/y+1、fm-1/x+1/y-1、fm-1/x-1/y+1為對應位置處球體的豎向力的分配比率。

顯然，圖1所示的三維堆積體中，存在如圖2所示的兩種層間關系：

根據通項公式（1），從堆積體頂層開始推算，首先對同一層中接觸力豎向分量呈現相同分布規律的進行分類，然后將其代入圖2所示的層間關系圖，可得如圖3所示的層間傳遞計算過程圖，便可推算得到下一層不同位置處球體所承擔的豎向力分量。基于此，便可逐層計算得到三維體心立方堆積體中不同位置處球體的接觸力豎向分量。

圖2 堆積體層與層之間的傳遞關系

圖3 層間傳遞計算圖（第2層傳遞給第3層）

3 接觸力理論分布規律

將上述接觸力傳遞模型用于計算規模為“7×7—6×6”（即奇數層球體數量為7×7，偶數層球體數量為6×6）的等粒徑球體三維體心立方堆積體的接觸力，豎向均布荷載作用下堆積體中不同層位、不同位置處球體的接觸力豎向分量，計算結果見圖4。

圖4 堆積體豎向力分量的理論計算結果

由圖4可得，“7×7—6×6”規模的堆積體中3、5、7、9層中不同位置球體的豎向力分量均呈現以x軸、y軸和z軸為對稱軸的軸對稱分布規律。豎向力分量呈現中心區域小，其他區域大的“中心區域凹陷”的現象，且隨著堆積層數的增加，“中心區域凹陷”的趨勢變緩，接觸力大小分布漸趨均勻。此外，不同位置球體的豎向力分量均在空間4個對稱的位置出現4個等大的峰值，且峰值出現的位置不隨堆積層數的增加而改變，峰值隨著堆積層數的增加減小。

4 結語

本研究建立了豎向均布荷載作用下，等粒徑球體三維體心立方堆積體中接觸力豎向分量的計算模型，利用該模型計算得到了相應堆積體中不同位置處的球體的接觸力豎向分量，發現豎向力分量整體呈現中間區域小、其他區域大的“中間區域凹陷”規律，且在4個固定位置出現4個等大峰值；隨著堆積層數的增加，“中間區域凹陷”的趨勢減變緩，峰值也逐漸減小。

[1]蔣紅英,魯進步.顆粒堆中軸向靜荷載力傳遞實驗分析[J].蘭州理工大學學報,2006(5):2-3.

[2]BOUCHAUD J P,CLAUDIN P,LEVINE,etc.Force chain splitting in granular materials:A mechanism for large-scale pseudo-elastic behavior[J].Eur Phys J E,2001(4):451-457.

[3]劉源,繆馥星,苗天德.二維顆粒堆積體中力的傳遞與分布研究[J].巖土工程學報,2005(4):2-6.

[4]蔣紅英,魯進步.顆粒堆中軸向靜荷載力傳遞實驗分析[J].蘭州理工大學學報,2006(5):2-3.

[5]蔣紅英.顆粒介質傳力特性及其在巖土工程中的若干應用問題[D].甘肅蘭州:蘭州大學,2005.

[6]GOLDENBERG C,GOLDHIRSCH I.Force chains,micro-elasticity and macro-elasticity[J].Phys Rev Letters,2002,89(8):1-4.

[7]劉建國.顆粒物質局部化行為的細觀研究[D].北京：清華大學, 2013.

[8]蘇梁,蘇強,馬良榮.解析法推導顆粒體系在受理過程中的力鏈分布[J].山西建筑,2011(9):1-2.

[9]蔣紅英,苗天德,魯進步.二維顆粒堆中力傳遞的一個概率模型[J].巖土工程學報,2006(7):2-5.

U416.1

A

1009-7716（2017）04-0202-03

10.16799/j.cnki.csdqyfh.2017.04.059

2017-02-27

張春光（1966-），男，上海人，工程師，從事道路交通設計工作。