或用面積或相似，道是無圓卻有圓
——對一道數學壓軸題的思考

安徽省利辛中學 張亞明 從 勁

或用面積或相似，道是無圓卻有圓
——對一道數學壓軸題的思考

安徽省利辛中學 張亞明 從 勁

前幾天，我縣組織了一次九年級全縣聯考，從整張試卷來看，試題平穩，穩中有變。可能學生是第一次接觸中考模擬測試，因此試卷得分率不高，尤其是最后一題得分率很低，全縣平均得分為6.27分（滿分14分），得分率為52.79%。基于此，筆者不揣簡陋，對最后一道壓軸題進行了一些思考，陳其陋見，以供交流。

一、試題呈現：

如圖（1），P為△ABC所在平面上一點，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點P叫作△ABC的費馬點。

圖（1）

（2）如果點P為銳角三角形ABC的費馬點，且∠ABC=60°，求證：△ABP∽△BCP;

（3）已知銳角三角形ABC，分別以AB、AC為邊向外作正三角形ABE和正三角形ACD，CE和BD相交于P點。如圖（2）。

圖（2）

①求∠CPD的度數；

②求證：P點為△ABC的費馬點。

二、試題簡解：

（1）是。

（2）∵點P為銳角三角形ABC的費馬點，

∴∠APB=∠BPC=120°，

又∵∠ABP+∠PBC=60°，

∠PCB+∠PBC=180°-120°=60°，

∴∠ABP=∠PCB。

在△ABP與△BCP中，

∵∠APB=∠BPC，∠ABP=∠PCB，

∴△ABP∽△BCP（兩角對應相等，兩三角形相似）。

評析：壓軸題一般要求“起點低、坡度緩”，但同時也應當具備區分性與選拔性，從而讓不同層次的學生都能得到不同的收獲，此題前兩問難度不大，學生容易上手，不難解決。

（3） ①在△AEC與△ABD中，

由題意得AE=AB, ∠EAC=∠BAD, AC=AD,

∴△AEC≌△ABD（SAS），

∴∠AEC=∠ABD=α, ∠ACE=∠ADB=β,

即在△PCD中，∠PCD=60°+β,∠PDC=60°-β，

∴∠CPD=180°-（60°+β）-（60°-β）=60°。

②∵∠DPC=60°，∴∠BPC=120°，

欲證P點為△ABC的費馬點，只需證∠EPA或∠DPA等于60°即可。

解法一（面積相等）：

如圖（3），由點A分別向EC、BD作垂線，垂足分別為F、G。

圖（3）

∵△AEC≌△ABD，

∴AF=AG（全等三角形對應邊上的高相等） ，

∴PA為∠EPD的平分線

∴∠EPA=∠DPA=60°。

評析：欲證∠EPA=∠DPA=60°，只需證PA為∠EPD的角平分線，由此很自然地想到了角平分線的判定，即作出點A到角兩邊的距離，如何去說明AE=AG呢？利用的則是全等三角形對應邊上的高相等。此解法自然天成，由結論到已知，逐層推理，“順藤摸瓜”，始終有那么一根線，讓學生有“路”可走，有“法”可依，不失為一種較為實用、有效、自然的方法。

解法二（兩證相似）：

如圖（4），∵∠CPD=∠CAD=60°，∠CNP=∠DNA，

∴△NAD∽△NPC，

又∵∠PNA=∠CND，

∴△NPA∽△NDC，

∴∠APN=∠DCA=60°。

圖（4）

評析：好東西都是有余味的，好題目亦是如此。筆者在本題的講解過程中就發現本題的背后藏有別樣的精彩，彰顯了命題者的獨具匠心。在講題過程中，有的學生會想到A、P、C、D四點是否共圓的問題（圖（5）），這讓筆者頗為驚訝，驚嘆于該生良好的數學思維能力。筆者和學生一起通過幾何畫板的演示，發現四點確實共圓，那么他們之間存在著一個怎么樣的關系呢？這種關系對于我們解決本題又有著怎樣的幫助呢？這是咱們在教學中需要注意的問題。

圖（5）

三、教學思考

1.在解題教學中，引導學生分析始終是解題教學中的關鍵一環，平時在解題教學中我們應當多問自己一些類似這樣的問題：“由已知條件你能得到哪些內容？”“你還能得到哪些內容？”“哪些條件我們還沒有用到？”“要得到這個結論，需要什么樣的條件？”“這一個圖形中蘊含著哪一種咱們熟悉的數學模型？”而這些問題往往就是解決這些問題所必需的。

2.數學核心素養提到了數學建模，具體落實在解題教學中，就是讓學生學會從復雜圖形中抽象出具體的數學模型的能力，這一點在今后的教學中具有一定的指導意義。以本題為例，如圖（6），學生若能在相交弦這樣一個基本的模型之中進行發散、拓展，就能夠一眼看到那隱藏在試題背后若隱若現的圓，則很容易能在短時間內發現△NAD∽△NPC與△NPA∽△NDC，這本身就是從復雜的圖形中抽象出“幾何模型”，就是在構建模型并在解題中加以應用。

圖（6）

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