由一道關于三角函數范圍題目引發的思考

廣東省廣州市華南師范大學 陳銘睿

由一道關于三角函數范圍題目引發的思考

廣東省廣州市華南師范大學 陳銘睿

求范圍問題的應用一直是一個熱門考點，且其中包含的知識很廣泛，比較考驗學生的綜合應用能力。其中三角函數范圍是一個較難突破的點，角的范圍和三角函數的取值相互制約。而學生在三角函數取值中經常會出現漏解和錯解的情況，其原因很有可能是忽略了題中一些條件，將角的范圍擴大化。本文就一道綜合性較強的求解三角函數范圍的題目，探討一下其中可以深究的問題。

一、案例呈現

我們來看題目：如圖是一個三角形，其中A，B，C三個角分別對應的邊長為a，b，c，且過A作BC邊上的高AD，AD長度為a，試求的范圍。

解析：首先觀察我們所要求的式子，發現為兩式之和且互為倒數的形式，又由于b，c都為正實數，能較容易想到使用如均值不等式的形式，在本題中就是時能取等號。

二、完善探究

直到這里原式的范圍就出來了，一些習題冊或試卷中所給的參考答案到這里就結束了，大同小異如此一般。 但是在這里我們不妨來思考一個問題：題中的上限值是否能取到，即A的取值是否能讓成立？

平時遇到類似的問題時，許多人可能做到這一步的時候，理所當然地認為正弦函數能取到1。但由于所用到的角度是在一個三角形中的，是有限制的，所以這里應該還要檢驗取到的值是否符合題目限制條件的要求，下面我們來探究一下角的取值范圍。

由于這里的三角形沒有特殊說明，故我們需要分情況討論。第一種是AD在三角形內，落在BC上，第二種AD是在三角形外，落在BC的延長線上。

再來看第二種情況，如圖，假設BD長度為x，則DC=a+x，且利用正切函數的差公式有：

三、反思小結

眾所周知，嚴謹性是數學科學的一個基本特點。所謂數學的嚴謹性，就是指對數學結論的敘述必須精確，結論的論證過程必須嚴格、周密。以這道題為例，許多同學可能只注重結果，對上答案了可能就不會再考慮這個答案是否完整，是否嚴密。現在關于數學的輔導和練習資料眾多，其內容的質量也是參差不齊的。對于一些比較依賴答案、比較缺少自己思考的學生來說，參考一些不嚴謹甚至存在錯誤的資料，會非常不利于他們數學的學習。

像這種類型的題目有很多，學生也常常求出最后的范圍后就以為完成了，而不會去檢驗這個范圍是否合理。教師在進行教學時，首先自身應該做到思維縝密、言必有據，在平時的教學時要注意培養學生思維過程和解題過程的嚴謹性、完整性。 最后，引用數學上一句經典的話：培養學生嚴謹的治學態度不一定是他們學好數學的充要條件，但肯定是一個必要條件。

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陳銘睿，（1996-07-），男，漢族，廣東省珠海市人，華南師范大學學生，本科，研究方向：數學與應用數學）