電磁學(xué)中幾種典型形狀的連續(xù)帶電的帶電體的電場強(qiáng)度的求解

孫婷西北師范大學(xué)

電磁學(xué)中幾種典型形狀的連續(xù)帶電的帶電體的電場強(qiáng)度的求解

孫婷
西北師范大學(xué)

在學(xué)習(xí)大學(xué)物理中電磁學(xué)部分中的電場部分時，避免不了要求解一些帶電體的電場強(qiáng)度（），而求解帶電體的電場強(qiáng)度的方法有很多種，并且離不開運(yùn)用高等數(shù)學(xué)中的微積分知識，本文就兩種典型的帶電體的電場情況做一些討論。

電場強(qiáng)度；微元法；高斯定理

求解帶電體電場強(qiáng)度一般有四種方法：

1、電場的矢量疊加法。

2、微元法。⑴取微元：對于電量連續(xù)分布的帶電體，我們可以取一個很小的微元，將這個微元當(dāng)做一個點(diǎn)電荷處理。⑵對稱性分析：通過分析帶電體產(chǎn)生的電場滿足的對稱性，可以簡化問題。⑶積分：我們將帶電體上所有的微元在某點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度都加起來。

3、高斯定律。⑴對稱性分析：能利用高斯定理求解的問題一般都具有較好的對稱性，分析帶電體的對稱性有利于幫助我們解決問題。⑵選取高斯面：我們所選擇的高斯面的方向盡量和電場強(qiáng)度的方向垂直。⑶計(jì)算高斯面上的電通量。⑷求高斯面所包圍的電荷量。⑸利用高斯定理計(jì)算電場強(qiáng)度的大小。

4、帶電體的電場強(qiáng)度等于電勢的負(fù)梯度。

一、利用微元法求解電場

求均勻帶電圓環(huán)中心軸線上產(chǎn)生的電場強(qiáng)度：

如圖1所示為一個半徑為R的均勻帶電圓環(huán)，總電荷量為Q，求距離圓環(huán)中心O為x處的電場強(qiáng)度E。

圖1

⑴取微元：如圖1，我們將圓環(huán)分割成一段一段的微小線元dl，每一段線元所帶的電荷量為：

圖2

微小線元在p點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度

⑵對稱性分析：圓環(huán)軸線上的電場的分布滿足鏡像對稱性，所以在垂直于X軸的分量相互抵消，平行于X軸的分量相互疊加；

⑶積分：

由（3）是可以看出，圓環(huán)中心軸線上某點(diǎn)的電場強(qiáng)度只與該點(diǎn)到圓環(huán)中心的距離有關(guān)。

二、利用高斯定理求解電場的問題

兩個同心球面均勻分布著電荷Q1和Q2，求同心球面I、II、III三個區(qū)域的電場強(qiáng)度的分布。

分析：⑴對稱性分析：該帶電體產(chǎn)生的電場滿足球?qū)ΨQ性；⑵選取高斯面：電場線的方向是沿著同心球的半徑呈射線狀，所以我們選擇以O(shè)為圓心的同心球面為高斯面，如圖2中虛線所示；⑶計(jì)算高斯面上的電通量：對于球面上的任意一個小面元d都與該處的電場強(qiáng)度的夾角，所以高斯面上的電場通量為：

⑷求高斯面內(nèi)所包圍的電荷量：

高斯面I、II、III所包圍的電荷量分別是：0 C、Q1、Q1+Q2;

⑸利用高斯定理計(jì)算場強(qiáng)的大小

高斯定理：任意一個閉合曲面的電場強(qiáng)度的通量等于該面所包圍的電荷量與真空介電常數(shù)的比值，即：

所以由于高斯面Ⅰ所包圍的電荷量為0，根據(jù)高斯定理，區(qū)域Ⅰ內(nèi)的電場強(qiáng)度;

高斯面Ⅱ所包圍的電荷量為Q1,由前面的分析知這個高斯面的電通量為：

根據(jù)高斯定理：

所以區(qū)域Ⅱ的電場強(qiáng)度的大小為：

同理可得區(qū)域III的電場強(qiáng)度的大小為：

小結(jié)

計(jì)算帶電體的電場強(qiáng)度時，應(yīng)選擇合適的方法，電場的矢量疊加法更適用于求解兩個或兩個以上的點(diǎn)電荷的帶電體系在空間中某一點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度，微元法更適用于求解電荷線狀分布的帶電體周圍的電場強(qiáng)度，而高斯定理更適用于求解有規(guī)則形狀的電荷面或體分布的帶電體周圍的電場強(qiáng)度，利用電勢的負(fù)梯度求解電場的方法并不常用。

[1]趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué)（第三版）[J].高等教育.1978,11-49.

[2]張之翔.電磁學(xué)中幾個簡單問題里的橢圓積分[A].大學(xué)物理.2002,4,21-24.