非完整約束系統Tzénoff方程Lie對稱性的共形不變性與守恒量

摘 要：以非完整動力學系統的Tzénoff方程為基礎，給出了該動力學方程在非完整約束下產生Lie對稱性共形不變性所需滿足的條件，進一步探究了系統Lie對稱性共形不變性成立時所能產生的守恒量，得到了該守恒量的表達式及產生這種守恒量的判定方程，最后用一個實例來展示研究結果的應用。

關鍵詞：非完整約束； Tzénoff方程；Lie對稱性；共形不變性；守恒量

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2017.10.189

動量守恒、動量矩守恒、能量守恒是自然界最基本的守恒規律，不但具有明顯而深刻的物理意義，而且在日常生活、工業革新、航天航空技術、國防科技等領域有著極其廣泛的應用。其實，在各種各樣的動力學系統中，同樣存在著具體的、各自不同的守恒量和守恒規律，它不但包含了上述物理意義明顯的守恒量和守恒規律，而且包含了物理意義不明顯的守恒量和守恒規律，還有更多的守恒量需我們研究清楚之后才能進一步挖掘其應用，所以，探究動力學系統中未知的守恒量和守恒規律是我們的一個重要任務。怎樣才能找出動力學系統中的守恒量和守恒規律呢？德國科學家Noether給出了一種方法[1] ，即利用對稱性和守恒量之間存在的對應關系，通過研究動力學系統中的對稱性來找出其存在的守恒量。 進入21世紀以來，對稱性和守恒量成為我國學者的一個研究熱點，并取得了一系列成果[2-10]。20世紀末，俄羅斯學者Galiullin等人首次研究了Birkhoff 系統的共形不變性或共形對稱性，并給出了共形不變性和共形因子的定義 [11]。 我國學者自從2008年開始研究了Lagrange 系統的共形不變性及其守恒規律[12]，從此掀起了共形不變性及其守恒量的研究熱潮，現已擴展到了許多領域 [13-17] 。在分析力學中有多種動力學方程，如 Lagrange方程、Appell方程、Tzénoff方程、Birkhoff方程、Nielsen方程等，這些動力學方程雖然形式各異，動力學函數也不盡相同，但本質上是等價的、相通的，可通過適當的變換和推導，總可以由一種形式變換成另一種形式，我們可以根據研究方便恰當地選擇其中一種。Tzénoff方程是最簡捷的一種動力學方程，2006年以來，針對Tzénoff方程對稱性與守恒量的研究也取得了一些成績[18-23]， 但關于Tzénoff方程共形不變性的研究起步較晚，目前僅研究了完整約束系統Tzénoff方程的共形不變性與守恒量[24-25] ，還沒有涉及到較復雜的非完整約束系統。

本文研究了在非完整約束下Tzénoff方程Liei對稱性的共形不變性與守恒量。利用非完整約束系統的Tzénoff方程，定義了其Lie對稱性共形不變性的概念，探究了該系統Lie對稱性共形不變性產生守恒量的條件， 力求給出這種守恒量的表達式和導出這種守恒量的判定方程， 最后，通過一個簡例來展示本文研究結果的應用。

1 非完整約束系統的Tzénoff方程

設由n個廣義坐標來確定動力學系統的位形，且其運動受有個理想Chetaev 型非完整約束

其中為系統的動能，T中廣義速度看作常數時對時間t的二階導數設為，廣義力為Qs，在非完整約束下的Tzénoff方程為

可利用方程（1） 和（4）求得乘子 ，將方程（4） 表示為

2 非完整約束系統Tzénoff方程Lie對稱性的共形不變性

其中是一無限小參數，為無限小生成元.非完整約束（1）在（7）式變換下的不變性歸結為約束限制方程

由于Lie對稱性是微分方程在群的無限小變換下的一種不變性[3]，又因方程（4）有（6）式的結果，所以，根據定義可得非完整約束系統Tzénoff方程Lie對稱性的判據方程

定義1 如果無限小變換的生成元滿足方程（10）或（12）以及約束限制方程（8），則這種不變性稱之為非完整約束系統Tzénoff方程的Lie對稱性。

定義2 非完整約束系統的Tzénoff方程（5）經無限小生成元變換后，能找到矩陣滿足方程

則非完整約束系統Tzénoff方程具有Lie對稱性的共形不變性。（13）式是其成立的判據方程， 為共形因子。

定理1 若非完整約束下的Tzénoff方程（5）在無限小生成元變換下是Lie對稱性，且存在矩陣滿足

則Tzénoff方程具有共形不變性且同時具有Lie對稱性的充分必要條件是。

證明 設Tzénoff方程（5） 是Lie對稱性的，則有，（14）式變為

由（13）式知系統具有共形不變性，其共形因子。反之， 若Tzénoff方程（5）成立共形不變性，（13）式和（14）式二者相減得

若，（16）式右端等于0，則Lie對稱性的判定方程（10）成立，系統具有Lie對稱性。

3 非完整約束系統Tzénoff方程Lie對稱性的共形不變性所導出的守恒量

非完整約束系統Tzénoff方程具備Lie對稱性的共形不變性的限制條件較多，但在滿足一定條件下仍可導出相應的守恒量。

定理2 對于非完整約束系統Tzénoff方程時間不變的Lie對稱性且同時也是共形不變性的生成元，如果存在函數使得

則Tzénoff方程Lie對稱性的共形不變性將直接導出Hojman守恒量

證明 將（18）式按（19）式的關系對時間求導，利用Lie對稱性判據方程（12） 和算子換算關系

4 應用例子

非完整系統的Tzénoff函數和約束方程分別為

試研究該力學系統Lie對稱性的共形不變性和其導出的守恒量。

解 由非完整系統的Tzénoff方程（4）給出

由（21）式和（22）式求得（22）式成為

所以，Lie對稱性共形不變性的判據方程（14）成立，系統具有Lie對稱性的共形不變性，其共形因子

顯然，生成元滿足約束限制方程（8）和Lie對稱性判據方程（12）， 系統同時也具有Lie對稱性。方程（17）式給出

它有解

（18）式給出Hojman守恒量

5 結語

本文針對非完整約束力學系統的Tzénoff方程，定義了其Lie對稱性共形不變性的概念，研究了Lie對稱性具備共形不變性及其產生守恒量的條件，發現系統Lie對稱性共形不變性在滿足一定條件下也能導出守恒量，并給出了其所能產生守恒量的表達式。該研究結果對進一步探究高階Tzénoff方程的共形不變性及其守恒量奠定了理論基礎。

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國家自然科學基金（11372169）.

作者簡介：鄭世旺（1963-），男，河南蘭考人，教授，主要從事分析力學方向的研究。