基于多生境遺傳算法的衛(wèi)星軌道計算方法

張鑫　許峰

摘要摘要：針對用傳統(tǒng)優(yōu)化算法求解計算衛(wèi)星軌道過程中的開普勒超越方程時，面臨的對梯度計算敏感和初始點要求過高等問題，提出了一種基于多生境遺傳算法的衛(wèi)星軌道計算方法，并據(jù)此計算了多種衛(wèi)星的星下點軌跡。數(shù)值實驗表明，上述算法較傳統(tǒng)優(yōu)化算法有較強的普適性和全局收斂性。

關鍵詞關鍵詞：衛(wèi)星軌道；星下點軌跡；開普勒方程；多生境遺傳算法

DOIDOI：10.11907/rjdk.171002

中圖分類號：TP312

文獻標識碼：A文章編號文章編號：16727800（2017）005002704

0引言

隨著空間科學技術的發(fā)展，人造地球衛(wèi)星已廣泛應用于氣象、通信、測繪、導航、偵察等諸多領域。目前，在軌的各類衛(wèi)星已多達數(shù)千顆，其中包括許多裝有合成孔徑雷達和高性能光學照相機的偵察衛(wèi)星。有些偵察衛(wèi)星不僅具有很高的分辨率，而且能實現(xiàn)全天候對地偵察。這就要求在進行重要武器裝備、部隊轉移或大型國防工程施工時，掌握境外偵察衛(wèi)星的運行規(guī)律，適時躲避衛(wèi)星偵察，保衛(wèi)國家安全。

避空偵察的關鍵在于衛(wèi)星運行軌道計算，進而獲取衛(wèi)星星下點軌跡。計算衛(wèi)星運行軌道時需要求解開普勒方程，由于此方程為超越方程，所以需要采用數(shù)值方法求解。以往，多采用基于梯度的經典算法如牛頓法求解開普勒方程，而此類算法明顯存在的兩大缺陷：一是算法對梯度計算的精確度要求較高，當梯度計算誤差較大時，解的誤差偏大，即算法的數(shù)值穩(wěn)定性較差；二是算法對迭代初始值的要求較高，當初始值與理論解相差較遠時，算法可能不收斂。

近年來，隨著以遺傳算法為代表的智能優(yōu)化算法研究的深入，智能優(yōu)化算法已越來越多地應用于航天和航空器的設計與軌道計算，并取得了許多成果。吳美平[1]將遺傳算法應用于載人飛船返回軌道設計；王吉力[2]應用遺傳算法對登月飛行器軟著陸軌道進行了優(yōu)化計算；羅亞中[3]將一種混合遺傳算法應用于運載火箭上升軌道的設計；陳剛等[45]系統(tǒng)研究了遺傳算法在航天器優(yōu)化中的應用；劉秀平[6]將差分進化算法應用于衛(wèi)星軌道計算方法。

本文針對衛(wèi)星軌道計算過程中的開普勒方程，提出了一種基于多生境遺傳算法的求解方法，并根據(jù)數(shù)值實驗對模型和算法進行了分析。

1衛(wèi)星軌道模型

1.1衛(wèi)星軌道參數(shù)

衛(wèi)星軌道參數(shù)是用來描述衛(wèi)星在太空中運行的形狀、位置和取向的各種參數(shù)，也叫衛(wèi)星的軌道根數(shù)。根據(jù)開普勒定律，人造地球衛(wèi)星在空間的瞬時位置可以由6個開普勒軌道根數(shù)確定，衛(wèi)星在空間的運行軌道及其描述如圖1所示。

其中，i，a，e，Ω，ω，θ為軌道六大參數(shù)，其含義如下[7]：（1） 軌道傾角i：衛(wèi)星軌道平面與地球赤道平面之間的夾角，決定平面的空間位置。（2） 半長軸a：確定軌道大小的參數(shù)，即軌道的半徑。（3） 偏心率e：確定軌道形狀的參數(shù)。當e=0時，曲線為圓；當01時為雙曲線。（4） 升交點赤經Ω：確定平面在空間位置的參數(shù)，沿著赤道方向，春分點至升交點（空間飛行器由南半球至北半球穿過赤道平面的點）之間的角度。（5） 真近點角θ：沿衛(wèi)星運動方向，從近地點度量至衛(wèi)星某時刻所在位置之間的角度，會隨著時間的變化而變化。（6） 地點幅角ω：沿著衛(wèi)星運動的方向，從軌道升交點度量至近心點的角度，也就是節(jié)線與近地點矢徑延長線之間的夾角。

1.2衛(wèi)星軌道計算模型

根據(jù)開普勒定律，可以建立下列衛(wèi)星軌道計算模型：

（1）根據(jù)真近點角M和偏心率e，通過解開普勒方程E=M+esinE，計算偏近點角E。

（2）利用公式r=a（cosE-e）P+a1-e2sinEQ計算衛(wèi)星的位置坐標，其中：

P=cosΩcosw-sinΩsinwcosisinΩcosw+cosΩsinwcosisinwsini，Q=-cosΩsinw-sinΩcoswcosi-sinΩsinw+cosΩcoswcosicoswsini。（3）通過地面觀測站觀測到的數(shù)據(jù)計算衛(wèi)星相對于地球的觀測向量K：

K=rcos（β）cosπ2-φ，rcos（β）sinπ2-φ，rsin（β）

其中，β表示觀測站觀測到衛(wèi)星的仰角，φ表示觀測站觀測到衛(wèi)星的方位角。（4）根據(jù)觀測站的經緯度計算觀測站在大地坐標系中的坐標：H=Rcos（α）cos（γ），cos（α）sin（γ），sin（α）。（5）根據(jù)下列方法將衛(wèi)星相對于地球的觀測向量K和觀測站在大地坐標系中的坐標H轉換到空間坐標系：x=l1X+l2Y+l3Z，y=m1X+m2Y+m3Z，z=n1X+n2Y+n3Z. 其中，li，mi，ni為新坐標軸的方向余弦。（6）根據(jù)轉化后的衛(wèi)星觀測向量K和觀測站坐標H計算衛(wèi)星在空間坐標中的位置：r=H+K。（7）按照下述方法計算經緯度：latitude=π2-arccos[0，0，1]·rr，longitude=arccos[1，0]·rr。

2超越方程的多生境遺傳算法求解

在衛(wèi)星軌道的計算過程中，需要求解開普勒方程。開普勒方程屬超越方程，沒有解析解，只有通過數(shù)值方法求取數(shù)值解。以往，人們通常采用傳統(tǒng)的經典的數(shù)值方法求解[6]，如牛頓迭代法。這類算法均的優(yōu)點是計算精度高，收斂速度快。但此類算法也有明顯的兩個缺陷：一是算法過分依賴于導數(shù)，對函數(shù)的光滑性要求較高；二是算法僅為局部收斂，對遠離精確解的初始點不一定收斂。

自20世紀60年代以來，模擬退火、遺傳算法、粒子群算法、蟻群算法、協(xié)同進化算法等一批智能算法層出不窮。隨著研究的深入，智能優(yōu)化的研究成果已逐漸被應用于各個領域?？紤]到遺傳算法對目標函數(shù)要求不高和全局收斂性較好的特點，遺傳算法和差分進化算法已被用于求解電磁領域和航天航空領域的復超越方程。本文提出一種基于多生境遺傳算法[9]的超越方程解法，其算法步驟說明如下：（1） 編碼，采用二進制編碼。（2） 種群初始化，取初始種群規(guī)模為100。（3） 適應度函數(shù)，求解的超越方程為F（x1，x2，…，xk）=0，則取適應度函數(shù)為：

fitness=11+F（x1，x2，…，xk）

顯然，適應度函數(shù)的最大值為1，此時表明求得了方程的精確解。

（4） 遺傳算子?？紤]到基本遺傳算法的全局收斂性較好而局部搜索能力相對較差，易陷于局部極小點，本文采用多生境遺傳算法的各種遺傳算子。

3數(shù)值實驗

以2016年全國研究生數(shù)學建模競賽D題為背景對求解超越方程的多生境遺傳算法進行數(shù)值實驗和算法分析。

3.1問題概述與分析

根據(jù)地面觀測站在若干天內觀測到的Q型及L1、L2型衛(wèi)星的過頂情況，預測此后幾天內衛(wèi)星被觀測到的情況及過頂情況，并給出未來兩天內確保國防工程安全施工的時段。軌道示意圖分別如圖2、圖3所示。

顯然，解決此類問題的關鍵是星下點軌跡計算。本文計算星下點軌跡的思路是：首先由各類衛(wèi)星的參數(shù)得出相應的開普勒方程；然后用多生境遺傳算法求解開普勒方程得出近點角；最后根據(jù)衛(wèi)星軌道模型求出經緯度，從而得出衛(wèi)星的星下點軌跡。

3.2計算結果

經計算可得衛(wèi)星軌道、星下點軌跡圖。

從圖4和圖5中最小的圈為危險區(qū)域，該區(qū)域為衛(wèi)星的過頂區(qū)域；外面的大圈表示地面觀測站可以觀測到軌道上的衛(wèi)星的區(qū)域。從圖中可以得出過頂區(qū)域和可觀測區(qū)域的經緯度。

3.3算法性能分析

為了評測求解開普勒方程的多生境遺傳算法的全局和局部收斂性，本文分別用牛頓法（Newton）、基本遺傳算法（SGA）和多生境遺傳算法（MNGA）求解同一組開普勒方程。表2給出了衛(wèi)星軌道類型、參數(shù)、精確近點角及各算法求出的近點角的近似值?？紤]到遺傳算法的隨機性，近似值為10次計算的平均值。圖6和圖7分別給出了基本遺傳算法和多生境遺傳算法的進化曲線。

由表2和圖5、圖6可以看出，基本遺傳算法和多生境遺傳算法均具有較好的全局收斂性，但多生境遺傳算法的

局部收斂性優(yōu)于基本遺傳算法，所以多生境遺傳算法的求解結果精度高于基本遺傳算法。表2顯示，傳統(tǒng)的Newton迭代法計算結果的精度并不比多生境遺傳算法的差，

但這是在Newton迭代法收斂的前提下得出的結論。事實上，在對上述目標進行測試時，若初始值離精確值較遠時，Newton迭代法并不總是收斂。

4結語

本文針對經典優(yōu)化算法求解計算衛(wèi)星軌道過程中的開普勒超越方程時對初始點要求過高的弊端，提出了一種基于多生境遺傳算法的衛(wèi)星軌道計算方法，并據(jù)此計算了多種衛(wèi)星的星下點軌跡。數(shù)值實驗表明，上述算法較傳統(tǒng)優(yōu)化算法有較強的普適性和全局收斂性，且與基本遺傳算法相比，在一定程度上提高了計算精度。

需要指出的是，衛(wèi)星軌道計算問題中因素眾多，較為復雜，結合地理信息系統(tǒng)解決此類問題是目前大家公認的思路。本文僅就模型求解方法作出改進，以期為相關研究提供借鑒。

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[10]2016全國研究生數(shù)學建模競賽試題http：//gmcm.seu.edu.cn/01/1d/c29a285/page.htm.

[11]吳昊，李傳榮，李子揚.基于ArcGIS的衛(wèi)星軌跡可視化仿真[J].測控自動化，2010，26（4）： 170172.

責任編輯（責任編輯：陳福時）