數學分析課程教學質量提升途徑探究

郭延濤

摘 要：數學分析是數學專業的基礎課程，文章探究了提高數學分析教學質量的途徑，根據中學數學課程標準與數學分析教學內容的聯系，以及數學分析教材的特點，針對當代大學生心理特征，結合自身的教學實踐，對教學內容的調整，教學方法的轉變，習題課和考核方式改革等方面進行探討。

關鍵詞：數學分析；教學質量；研究式教學

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2017）18-0067-03

Abstract： The mathematical analysis is a basic course for mathematics majors. In this paper， the ways to improve the quality of the mathematical analysis teaching are discussed. Based on the relations between the standard of mathematical course in middle schools and the content of the mathematical analysis， characteristics of textbooks， the psychological features of modern college students and the author's teaching experience， it is argued that teachers should focus on the reformation of teaching contents， transition of teaching methods and the reform of exercise classes and examination modes in order to increase the teaching quality.

Keywords： mathematical analysis； teaching quality； research-oriented teaching

數學分析作為高等學校數學類專業的基礎課程，包含大量的數學基礎知識，蘊含著豐富的數學思想和數學方法，學好數學分析這門課程，理解課程中的數學思想，熟練掌握課程中的概念和方法是所有數學專業學生的必然過程，也是學好后續課程的關鍵，關系到學生的成長和未來的發展。

目前我國的高等教育已從精英教育向大眾教育發展，地方高等院校處于向應用型院校轉型發展的新時期，在校大學生身心都出現了新情況和新變化，對于教師來說，講授數學分析這門核心課程非常重要，即要保證學生掌握完整的知識體系，又要體現培養應用型人才的教育理念，這是一個艱巨的任務，也面臨著巨大的考驗，要求教師對應這些新的特點，緊隨時代的步伐，對教學的內容，教學方法和手段進行改革，提升教學質量，達到應用型人才培養的目的。

一、教學內容調整

數學分析是數學專業大學生第一學期就開設的基礎課程，學生剛開始接觸較抽象的理論知識，此時教學需要和中學數學學習內容很好的對接，目前普通高中數學課程改革較大，從普通高中數學課程標準（實驗）和人教版高中數學必修可以看出，目前新的高中數學課程標準降低了對一些知識點的要求，對比新版課程標準可以看出，新課標中不再出現反三角函數相關內容，同時與三角函數有關的和差化積，積化和差等知識點也不作要求，把參數方程，極坐標等知識點作為單獨的專題出現，增加導數、積分、概率、統計、信息科學等基本知識[1]。新課標在知識和內涵上體現了“刪減繁瑣的計算，人為技巧的難題和過分強調細枝末節的內容”改革思想，同時也體現了“為學生適應現代社會生活和未來發展提供更高水平的數學基礎，使他們獲得更高的數學素養，為學生進一步學習提供必要的數學準備”[2]。

在新課程標準的指導下，各個學校在高中數學教學過程中會尊重學生的個人興趣愛好和未來發展意愿，根據自己的師資力量講授不同專題，這些措施會在各個方面促進學生的學習，讓學生足以應付升學考試，但也因此導致學生進入大學之后某些知識的欠缺，處理數學問題時思路不夠開闊，方法不夠多樣，與大學階段學習數學分析要求學生必備的知識儲備和能力有偏差，導致部分同學在學習過程中學習困難。這要求講授數學分析的教師在講授過程中對學生的中學學習狀況摸底調查，清楚掌握學生學習狀況，了解學生知識儲備上的差異，改變教材中的固有內容，在講授相關內容時補充相關知識。例如，在第一學期學習數學分析函數基礎知識時講解三角函數，反函數時，引入反三角函數相關知識，同時借此契機從兩角和或差的正、余弦得到和差化積公式，積化和差公式，倍角公式，半角公式，萬能公式等。講解函數圖像時，增加參數方程和極坐標變換，講解絕對值值不等式時增加常用的不等式和常用證明不等式的常用方法，這些內容的增加彌補了部分學生知識的空缺，為今后講解極限等問題做好鋪墊。

目前國內使用的數學分析教材主要是華東師范大學數學系編寫的《數學分析》，劉玉蓮教授編寫的《數學分析講義》，陳傳璋教授編寫的《數學分析》，這些教材都是以實數完備性為基礎展開，知識體系完整，內容詳實豐富，數學理論性強，但是有一個共同的缺點是體現數學知識在生產生活中的應用不足，缺少趣味性，教學內容基本是體現數學知識的概念，訓練和鞏固學生運算能力的習題，訓練理論證明的定理，在啟發性和應用性上不足，不能快速的反映出數學對科技進步的影響或者科學技術對數學發展的幫助[4]。這就要求授課過程中結合實際問題，穿插數學建模的思想，數學建模是利用數學知識結合計算機編程，借助于數學軟件解決實際問題的過程，數學建模過程是把實際問題高度抽象化，精確化，精煉成抽象的數學問題，用數學知識解決問題，它是學生學習數學知識并運用數學知識的最佳途徑。通過解決生產生活中的實際問題，讓學生知道學有所用，理解理論知識在解決實際問題的方法和過程。同時建模所使用的計算機計算模擬和多媒體技術作圖，讓抽象的數學知識變得直觀，增加學生學習的興趣，激發學生的學習熱情，深入探索數學分析的應用。

二、教學方法轉變

研究式教學是指在教學過程中，教師通過不斷地滲透科學研究方法，以研究的方式，引導學生利用數學的思維發現問題，分析問題，解決問題的一種新型教學模式[5]，其基本思路是在教師的指導下讓學生自己對問題進行研究，通過研究問題，發現理論知識，再使用理論指導實踐解決問題。教師是教學過程的組織者，引導者，學生是教學過程的主體和知識的構建者。數學分析課主要培養學生的數學思想，數學思維能力，研究式教學可以使學生發揮主觀能動性，主動分析問題解決問題。數學分析有嚴謹的數學理論，而高中數學則通過實例以定性的描述引入數列極限等概念，以實際應用問題中抽象出來函數的連續性，導數和積分等概念，這些內容都是定性的描述沒有給出嚴格的定義，學生經過中學時期的訓練，對這些知識能夠很好的掌握，對運算的法則和計算公式比較熟悉，教師在數學分析課程中講授時使用研究式教學方法，引導學生學會使用絕對值等定量的方法給出極限ε-N定義的思想，讓學生掌握用極限的思想定義導數和積分等概念，引導學生逐步掌握邏輯性強的數學證明。

數學分析的學習不僅僅是知識的掌握，更是在知識掌握過程中數學思想滲透和數學文化的熏陶，教師要重視學生數學思想的培養，把培養學生數學思想方法作為一個重要的教學環節并落實到教學過程，在日常教學實踐中教師可以借助微信、微博等新的傳播媒介，定期向學生推送關于數學思想的短文，讓學生耳濡目染，反復滲透，有目的的啟發誘導，讓學生逐步理解數學思想，領悟數學思想，從而實現發展學生數學思想方法，提高學生數學素養的目的。推送數學家的軼事和數學在其他學科發展中的應用類文章，讓學生知道學習數學的樂趣和重要性，經過長時間的閱讀，會給學生學習數學分析帶來很大的幫助。

大學課程學習有別于中學課程學習，特別是第一學期學習數學分析時很多想法在中學沒有接觸，加之邏輯分析嚴謹，理論證明多，實際應用少見，學生會感覺到學習不適應，學習缺少趣味性，教材內容不能理解，課后作業不能獨立完成，學習過程中會有挫敗感，但是當代大學生又自尊心強，渴望得到教師和同學的鼓勵和贊賞，學生在學習過程中希望得到任課教師的肯定和表揚，然而大學學習階段輔導員日常管理的學生較多不可能天天與學生見面探討生活和學習，此時任課教師除日常的教學工作外應深入學生中間，給學生足夠的關懷和鼓勵，指導學生學習，幫助他們樹立信心，克服困難。教師要想辦法給學生創造一個快樂的學習過程，讓學生在愉快的氛圍中學習，掌握知識。

從歷年的教學實踐可以看出，學生普遍反應數學分析這門課程難學，難學不僅僅表現在知識理解和掌握的難度上，更深層次原因是學生的思維比較單一，在中學的學習過程中沒有接觸和論證復雜的問題，而在大學學習過程中僅善于模仿，沒有擴散思維，不善于使用自己的頭腦根據實際情況分析問題并尋求解決辦法，論證過程常常漏洞百出不合邏輯，針對這種情況教師在授課過程中特別是第一學期講授數學分析時要重點訓練學生使用數學語言表達數學論證過程。

所謂數學語言可以簡單的概括為數列極限的ε-N定義和函數極限的ε-δ定義及其相關定義論證問題的論證過程，其表達方式單一而嚴謹，邏輯性強，在數學分析里這些定義舉足輕重，這些定義雖然在中學時有所了解，但理解不透徹沒有融會貫通，在教學過程中應當投放足夠的學時，教師應嚴格要求學生證明問題，即使在思路清晰，證明方放明確的情形下，也要要求學生書寫出嚴格證明過程，并反復檢查論證是否有邏輯上的問題，使用的數學語言是否完整、通順、簡潔，這是一個漫長的過程，需要教師和學生共同努力逐步掌握。

教學實踐發現學生在使用數列極限的ε-N語言和函數極限的ε-δ語言論證問題時往往顯得不知所措，一個重要的原因是不理解ε和N，δ的關系，而另外一個重要的原因則是在證明過程中學生不能適當的放大或縮小不等式，學生認識不到在什么情形下需要放大不等式，采用何種辦法去放大不等式，不等式放大到何種程度，教師在授課時結合問題給出一定量的放大不等式的方法，著重引導學生領悟放大不等式的方法和技巧，并學會在處理不同問題時靈活運用。

在數學分析教學過程中教師應該注意拓寬學生獲取知識的渠道，而不是僅僅依賴課堂教學，應加強微課、公開課、精品課程、慕課等新的教學資源的應用。微課程是指運用構建主義方法化成的、以在線學習和移動學習為目的的實際教學內容，一般是長度為5-10分鐘的多媒體視頻資料。微課作為互聯網發展帶動起來的一種新型多媒體教學資源，具有短小精練，內容充實、主題突出、學習方便等特點，能夠有效支持學生在線、移動學習，在數學分析講授中合理利用微課程等現代教育資源，這些教學材料資源豐富，針對性強，且學習不受時間和地點限制，學生在遇到不懂的知識點時可以反復觀看學習，還可以通過觀看不同的視頻文字資料從各個不同側面深入體會知識點的內涵，達到全方位掌握知識點的目的。

教師要轉變角色，從傳統教學中知識的灌輸者轉變成學生自主掌握知識的引導者.傳統教學在教育的發展歷程中特別是師資力量不夠，教育資源匱乏階段一直起著重要作用，在特定的環境中一定的歷史條件下具有獨特的優勢，但其教學模式過于單一， 在教學過程中總是以教材和教師為中心，按照教師的意愿和教學大綱按部就班執行教學計劃，不夠重視學生在教學中的主體作用，不關心學生對知識的掌握程度，習慣于灌輸式教學，填鴨式教學，沒有擺脫教師講、學生聽的教學模式，使學生處于被動學習的狀態.高等教育經過長期的發展和積累，目前完全有條件轉變為現代教學手段，利用現代教學手段的生動、直觀、高效性特點降低理解和獲取知識的難度， 以學生為中心，充分調動學生參與課堂教學和學習的積極性和互動性， 加強師生教與學的主動性。

三、習題課和考核方式改革

習題課和答疑是學生鞏固知識和解決疑難困惑的主要途徑之一，教師要重視習題課的作用，習題課上習題的選擇要有針對性，遵循少而精的原則，通過所選擇的每一個習題，讓學生都有所啟發，讓學生對知識的理解得到進一步提升，從而讓學生有進一步學習數學分析的求知欲.習題課要采用多種組織形式，而不是教師一直不停講解的填鴨式模式，根據實踐經驗，可以事先給學生留一定的習題，有計劃的發揮學生的積極能動性，在課下獨立思考問題、解決問題，習題課時在教師的引導下分組討論，讓學生在討論過程中發現自己思考問題時的局限性和解決問題時面臨的困難，領會克服困難所用的方法和技巧，體會如何進一步討論問題，然后每組選擇不同的習題輪流講解給大家，最后教師點評，通過這個過程讓學生自己發現在學習過程中對知識理解的偏差，積累解決問題的方法和經驗，這樣也改變了單一的學習模式，鍛煉了學生的語言表達能力，在愉快的氛圍中獲得知識，教師在組織過程中也發現了學生的問題，在以后的課程中重點講解。

數學分析涵蓋知識點多，所涉及到的計算過程和理論證明相對復雜，一張試卷不可能面面俱到，期末試卷命題還要控制試題數量和難易程度，因此數學分析課程考核形式應該具有多樣化，要逐步改正以前那種以閉卷考試成績結合課后作業完成情況作為期末綜合評定辦法.閉卷考試是衡量學生對所學知識掌握程度的主要依據，但是課后作業只能整體上反映出學生掌握程度，而較難反映出每一位同學對知識的掌握，事實是幾乎所有的課后作業都能按時上交，但從以往期末成績可以看出部分同學掌握的并不好，而這些學生的課后作業也完全正確，這就不排除部分同學抄襲作業，因此僅僅依靠作業很難區分學生的平時成績，這就需要再加上其他形式的考核，增加習題課分組討論時的表現環節，適當在課程中增加一些總結拓展、對數學思想的領悟的小論文和某些基本問題解法的總結，或者增加數學建模解決實際問題的實踐性論文，根據這些環節，綜合評定平時成績，再結合閉卷考試成績，則能很好的綜合評價學生的真實水平。

總而言之，在日常的課程教學中教師要與時俱進，不斷學習教學改革最新成果，深入研究學生心理特征和教材特點，持續不斷提升自身教學水平，積極吸收新的教學理念，借鑒新的教學方法，撰寫好的教學材料，創造新的教學手段，挖掘學生創造思維能力，轉換教師在組織教學過程中的角色，讓學生成為教學過程的主體，充分調動學生參與課程教學積極性，激發學生學習的熱情，提高學生學習能力，在教師和學生的共同努力下不斷提高教學質量。

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