定積分的發展史和應用

胡楠

摘 要：本文通過介紹定積分的發展歷程闡述了定積分的基礎——極限思想的發展，使我們了解到一個偉大定理的誕生需要多少細微理論的推動。最后，概述了定積分的定義，并從面積和微元的角度介紹了定積分的幾個應用。

關鍵詞：定積分；極限；幾何；物理

1 歷史背景

赫爾曼·漢克爾曾說，在大多數科學里，一代人要推倒另一代人所修筑的東西，一個人所創立的要被另一個人取代，只有數學，每一個人都能在舊體系上增加一點色彩。微積分學作為數學的一個重要的分支，其發展史正印證了這句話。

現代數學分析理論體系中，定積分的規范定義要基于極限論，這和歷史并不一致。在人類對微積分的認識初期，積分問題和極限問題是平行發展的。

1.1 定積分問題的提出

積分思想起源于古希臘，古希臘科學家安提風呈現“窮竭”的方法，然后在公元前三世紀，阿基米德發展了該方法，他在著作中提到了面積和體積的測量：圓拱，球和球帽、螺線盤旋3類面積問題和共軸的旋轉雙曲面與圓柱交集體積的問題。這是積分思想最初的樣子。

1.2 建立極限與積分的聯系

（1）1615年開普勒在《酒桶的立體幾何》中提出了利用求無數個小圓柱體積之和求旋轉體體積的方法，他是是第一個在求積問題中用通俗的語言提出無窮大，無窮小概念的科學家，可以認為是歷史首次讓“積分論”與“極限論”開始出現交集。

（2）首個用極限思想真正解決導數與積分問題的科學家波爾查諾，但他仍然沒有清楚地將極限的本質呈現出來，仍然沒有將極限的基本概念解釋清楚。直到19世紀，法國科學家柯西結合前輩的思想進一步較完整地闡述了極限的概念，對變量，極限，連續，收斂等給出了明確的定義，微積分長期糾纏在基礎問題上的局面終于被打破，為微分學和積分學提供了嚴謹的理論基礎，形成了以極限論為核心的函數理論，經后人稍加豐富，就成了現在嚴謹的數學分析學。

（3）1893年法國數學家若爾當在自己的著作《分析教程》中首先提出了集合的測度論，后人為紀念他，將這個雖然存在不少缺陷，但啟發意義很重大的理論稱為若爾當測度論。1898年法國數學家博雷爾在若爾當測度論基礎上引入了“σ-代數”概念，這是基于集合可測性的實分析理論的雛形。勒貝格注意到了這套有重大缺陷理論中的深刻思想，通過建立“勒貝格測度論”，成功地開創了自己的一套積分理論，將積分的研究對象推廣到所謂“可測函數”，解決了“不可積函數”大量存在的狀況，至此，數學家們很少再碰到“不可積的函數”，勒貝格測度與積分理論經后人稍加豐富變成了現在的實分析（也叫實變函數）。

2 定積分的應用

2.1 定積分的定義

定義1（黎曼型積分）：對于定積分來說，若積分區間[a，b]、分點a=x0參考文獻

[1]李立真.定積分在物理中的簡單應用[J].學周刊，2015，（7）：112.

（作者單位：下關第一中學）