交錯系統分離集和生成集關系的研究

程建康 陳溥 楊貺

摘 要：本文對交錯系統中分離集和生成集的關系進行了研究，提出了兩個重要結論：

1. 若E∈E[f，g]（n，ε）且Card（E）=s（n，ε），則E∈F[f，g]（n，ε）；

2.r（X，n，ε）≤s（n，ε）≤rX，n，ε2.

并對其進行了證明。

關鍵詞：交錯系統；分離集；生成集

一 、相關定義

分離集和生成集在定義拓撲熵[1]的過程中起到重要作用，而它們本身也有值得探討的地方。這兩個概念在經典的拓撲自治系統中已經有學者討論[2]，下面我們在非自治系統中的交錯系統中討論它，為將來討論交錯系統的拓撲熵而作準備。

設（X，[f，g]）是一個交錯系統[3]，Card（A）表示集合A的基數[4]，Z+表示正整數集。

記diam（A）=sup{d（x，y）|x，y∈A}為集合A的直徑，2A為集合A的冪集。

記

fn=（g。f）k，n=2kf。（g。f）k，n=2k+1，

gn=（f1。g1）k，n=2k（f1。g1）k。f1，n=2k+1

其中k∈Z+，f和g都是X到X的連續映射。特別的，設f0和g0為X到X的恒同映射。

定義1 設n∈Z+，ε>0。稱集合EX為X的關于交錯系統[f，g]的（n，ε）分離集，若對任意的x，y∈E，x≠y，存在i∈0，1，2…，n1使得d（fi（x），fi（y））>ε。記X的關于交錯系統[f，g]的（n，ε）分離集的全體所成的集合為E[f，g]（n，ε）。

定義2 設n∈Z+，ε>0，記s（n，ε）=supCard（E）|E∈E[f，g]（n，ε）。

定義3 設n∈Z+，ε>0。稱集合Fx（關于交錯系統[f，g]）（n，ε）生成X，若對任意的x∈X，存在y∈F使得dn（x，y）=maxd（fi（x），fi（y））|i=0，1，2…，n1≤ε。此時，我們也稱FX是X的關于交錯系統[f，g]的（n，ε）生成集。記X的關于交錯系統[f，g]的（n，ε）生成集的全體所成的集合為F[f，g]（n，ε）。

定義4 設r（X，n，ε）=infCard（F）|F∈F[f，g]（n，ε），其中n∈Z+，ε>0。

二、 相關結論及其證明

命題1 若集合EX為X的關于交錯系統[f，g]的（n，ε）分離集，則對于任意的x∈E都有x=E∩∩n1i=0gi（B（fi（x），ε））。

證明： 我們先證xE∩∩n1i=0gi（B（fi（x），ε））。對任意的i∈0，1，2，…，n1，明顯地有fi（x）∈B（fi（x），ε），于是有x∈gi（B（fi（x），ε）），所以有x∈=∩n1i=0gi（B（fi（x），ε））。又因為x∈E，所以x∈=E∩∩n1i=0gi（B（fi（x），ε）），因此x=E∩∩n1i=0gi（B（fi（x），ε））。

下證{x}E∩∩n-1[]i=0gi（B（fi（x），ε））.

由上面的證明知x∈E∩∩n1i=0gi（B（fi（x），ε）），于是我們只需證明唯一性即可。我們用反證法。假設x，y∈E∩∩n1i=0gi（B（fi（x），ε））且x≠y，則對任意的i∈0，1，2，…，n1，有fi（y）∈B（fi（x），ε），于是有d（fi（x），fi（y））<ε。但是由分離集的定義可知，當x，y∈E，x≠y，存在i{0，1，2，…，n-1}。使得d（fi（x），fi（y））>ε，明顯與d（fi（x），fi（y））<ε產生矛盾。所以假設不成立，因此唯一性成立。

綜上所述，命題得證。

命題2 若ε≥diam（X），則有E[f，g]（n，ε）=。

證明： 我們用反證法。假設E[f，g]（n，ε）≠，即存在分離集E∈E[f，g]（n，ε）。根據分離集的定義，對任意的x，y∈E，x≠y，存在i∈0，1，2，…，n1使得d（fi（x），fi（y））>ε，所以有

diam（X）=supd（x，y）|x，y∈X≥d（fi（x），fi（y））>ε。

這與ε≥diam（X）矛盾，于是假設不成立。證畢。

命題3 對任意的n∈Z+，都有E[f，g]（n+1，ε）E[f，g]（n，ε）…E[f，g]（1，ε）。

證明： 我們只需要證明E[f，g]（n+1，ε）E[f，g]（n，ε）即可，任取E∈E[f，g]（n，ε），由分離集的定義可知對任意的x，y∈E，x≠y，存在i∈0，1，2…，n1使得d（fi（x），fi（y））>ε。于是存在i∈0，1，2，…，n1使得d（fi（x），fi（y））>ε。所以E∈E[f，g]（n+1，ε），因此E[f，g]（n+1，ε）E[f，g]（n，ε）。

命題4 若0<ε<δ，則有E[f，g]（n，δ）E[f，g]（n，ε），其中n∈Z+。

證明： 任取E∈E[f，g]（n，δ），由分離集的定義可知對任意的x，y∈E，x≠y，存在i∈0，1，2…，n1使得d（fi（x），fi（y））>δ>ε，于是有E∈E[f，g]（n，ε），即E[f，g]（n，δ）E[f，g]（n，ε）。

定理5 設n∈Z+，ε>0。若E∈E[f，g]（n，ε）且Card（E）=s（n，ε），則E∈F[f，g]（n，ε）。

證明： 若E∈E[f，g]（n，ε）且Card（E）=s（n，ε），由分離集和s（n，ε）的定義可知對任意的x，y∈E，x≠y，存在i∈0，1，2，…，n1使得d（fi（x），fi（y））>ε并且對任意的x∈XE和y∈E，d（fi（x），fi（y））≤ε。

設x∈X，我們接下來考慮兩種情況：x∈E和x∈XE。

若x∈E，則對任意的i∈0，1，2，…，n1}都有d（fi（x），fi（x））=0<ε，所以有

dn（x，y）=maxd（fi（x），fi（x））|i=0，1，2，…，n1=0<ε。

若x∈XE，由E∈E[f，g]（n，ε）且Card（E）=s（n，ε）可知對任意的x∈XE和y∈E，d（fi（x），fi（y））≤ε。

綜上所述，對任意的x∈X，存在y∈E使得

dn（x，y）=maxd（fi（x），fi（x））|i=0，1，2，…，n1≤ε。

所以E∈F[f，g]（n，ε）。

引理6 設E∈E[f，g]（n，ε），F∈F[f，g]（n，ε/2）。定義τ：EF使得對每個x∈E，有τ（x）∈F且滿足dn（x，τ（x））≤ε2，則τ是單射。

證明：我們先證τ：EF是映射。因為F∈F[f，g]（n，ε/2），任取x∈EX，由生成集的定義可知存在y∈F使得

dn（x，y）=maxd（fi（x），fi（x））|i=0，1，2，…，n1≤ε2。

令τ（x）=y，則對于任意的x∈E，都有y∈F與之對應，即τ：EF是映射。

下證τ：EF是單射。任取x，y∈E且x≠y，我們證明τ（x）≠τ（y）。用反證法。假設τ（x）=τ（y），則存在i∈0，1，2，…，n1使得

ε≤d（fi（x），fi（τ（x）））+d（fi（τ（x）），fi（τ（y）））+d（fi（y），fi（τ（y）））

=d（fi（x），fi（τ（x）））+d（fi（y），fi（τ（y）））

≤dn（x，τ（x））+dn（y，τ（y））

≤ε2+ε2=ε

矛盾，所以假設不成立，從而τ：EF是單射。

定理7 對任意的ε>0，都有r（X，n，ε）≤s（n，ε）≤rX，n，ε[]2。

證明： 我們先證r（X，n，ε）≤s（n，ε）。由定理5可知若E∈E[f，g]（n，ε）且Card（E）=s（n，ε），則E∈F[f，g]（n，ε）。所以有r（X，n，ε）=infCard（F）|F∈F[f，g]（n，ε）≤Card（E）=s（n，ε）。

下證s（n，ε）≤rX，n，ε[]2。由引理6可知當E∈E[f，g]（n，ε），F∈F[f，g]（n，ε/2）時，可以定義單射τ：EF，這意味著Card（E）≤Card（F），所以有

s（n，ε）=supCard（E）|E∈E[f，g]（n，ε）≤infCard（F）|F∈F[f，g]（n，ε/2）=rX，n，ε[]2.

參考文獻：

[1]Adler R， Konheim A， McAndrew M.Topological entropy. Trans. Amer. Math. Soc.，1965， 114： 303319.

[2]林銀河.拓撲動力系統中張成集與分離集[J].重慶大學學報（自然科學版）， 2006， （11）： 122125.

[3]Gengrong Zhang， Jiankang Cheng， Xiaoting Li. Some results of alternating systems[J].International Journal of Research Science and Management.2015， 2（1）： 2631.

[4]熊金城.點集拓撲講義[M].高等教育出版社， 2011.

資助項目：1.廣西高校中青年教師基礎能力提升項目（2017KY0711）；2.百色學院2015年度校級一般項目（2015KBNO2）

作者簡介：程建康（1989），主要研究方向：拓撲動力系統。