工科理論力學課程“運動學”教學研究

伍建偉 唐亮 鮑家定 李雪梅

摘 要：理論力學是工科學生的一門重要的技術基礎課程，該課程的難點大多集中在運動學部分。對此，該文對理論力學運動部分的連體基和位形坐標進行了敘述，簡述了運動學的基本原理。通過一個曲柄滑塊機構運動學分析的例子，讓學生領略一般性的規律，加深學生對該課程知識的理解，提高學生們學習的信心和興趣。

關鍵詞：工科；理論力學；運動學；教學研究

中圖分類號：O311 文獻標識碼：A

理論力學是工科學生的一門技術基礎課程[1， 2]。該課程主要研究的是平面剛體與平面剛體系的運動規律，要求學生通過一定的簡化建立相應的力學模型（ 質點、質點系、剛體和剛體系） ，利用理論力學的原理和方法建立數學模型，并通過解析或數值方法對數學模型進行求解的過程。工科理論力學課程分為靜力學、運動學和動力學三個部分。“運動學”是理論力學課程重要的組成部分，是動力學分析的基礎，學生只有牢牢掌握了運動學的原理與方法才能真正學會這門課程。對此，本文結合自身的教學體會，在簡要介紹理論力學運動學基本原理的基礎上，舉例來說明運動學分析的過程。

1 運動學

理論力學主要研究平面剛體運動的一門學科，剛體與剛體之間通過一定的聯接方式從而實現特定的運動。運動學是在不考慮物體運動成因的前提下來研究物體的運動規律，它是從幾何學上研究物體的運動關系。通俗點說就是在剛體系中已知某些剛體或剛體上某些點的運動，求解隨時間變化的未知剛體的位移、速度、加速度等運動學量。

2 連體基與剛體位形的描述

圖1為平面剛體連體基和位形坐標的描述，連體基是以剛體上一點C為基點構造的一個正交基與該剛體固接的坐標系，夾角φ為連體基與參考基的夾角（姿態角）。連體基Cxbybzb相對于參考基oxryrzr的方向余弦矩陣為：

Arb=cos（φ）sin（φ）sin（φ）cos（φ）（1）

圖1 平面剛體連體基和位形坐標的描述

對于平面剛體，如果已知基點C的運動和姿態角φ，那該剛體上任意點位移變化可由這三個標量完全確定。這三個標量稱為剛體的位形坐標，它們組成一個位形坐標陣（xc，yc，φ）。

3 剛體上給定點的位置、速度和加速度

根據兩個坐標之間的關系，可知剛體上給定點P的坐標陣為[3]：

xpyp=xcyc+Arbρp（2）

其中，ρp表示P點相對于連體基坐標系的坐標陣。考慮到剛體是任意兩點之間相對位置保持不變的物體，因此ρp=常數。

根據式（2）可知，剛體上給定點P的速度和加速度坐標陣為：

pp=cc+ddt（Arb）ρp（3）

pp=cc+d2dt2（Arb）ρp（4）

根據式（2）、（3）、（4）可知，要完全確定剛體上點P的運動，首先要獲得位形坐標、速度位形坐標和加速度位形坐標，即（xc，yc，φ）、（c，c，）和（c，c，）。求得平面剛體的這9個位形參數后，該系統的運動規律也就完全確定了，故理論力學的運動學部分的任務主要就是求解各個剛體的位形坐標、速度位形坐標和加速度位形坐標。

4 曲柄滑塊機構運動學分析舉例

圖2為某曲柄滑塊機構笛卡爾坐標描述剛體位形。其中曲柄為剛體B1、連桿為剛體B2、滑塊為剛體B3，已知曲柄的初始轉角為φ0、角速度為1、角加速度為1，曲柄長為l1，連桿長為l2，偏心距為h，求連桿B2和滑塊B3質心的運動規律。

圖2 某曲柄滑塊機構笛卡爾坐標描述的剛體位形

（1） 定義各個剛體的連體基。各個剛體的連體基定義為如圖2所示，其中oxyz為參考基。事實上，運動學中連體基的基點可以取在剛體的任意位置。

（2） 建立系統的約束條件，計算系統的自由度。通過計算各個剛體的三個位形坐標隨時間變化關系，即可得到該機構位形變化運動規律。總的位形坐標為9個，即（x1，y1，φ1，x2，y2，φ2，x3，y3，φ3）。仔細分析可知，該系統有8個約束方程，分別為：x1=0，y1=0，x2=l1cos（φ1），y2=l1sin（φ1），x3=l1cos（φ1）+l2cos（φ2），y3=l1sin（φ1）+l2sin（φ2），l1sin（φ1）+l2sin（φ2）h=0，φ3=0。總位形坐標陣未知參數有9個，約束方程有8個，故該機構的自由度為1。另外，總的速度位形坐標陣有9個，即（1，1，1，2，2，2，3，3，3）；總的加速度位形陣有9個，即（1，1，1，2，2，2，3，3，3）。求得這27個未知參數便可完全確定該機構的運動規律。

（3） 化簡整理，求解方程，得到總位形坐標陣。由于φ1已知，根據l1sin（φ1）+l2sin（φ2）h=0，利用數值方法[4]可以求得φ2，再根據約束方程即可求得總位形坐標陣的各個參數。

（4） 計算總速度位形坐標陣。由于φ1、1、φ2已知，對l1sin（φ1）+l2sin（φ2）-h=0進行求導，利用數值方法，即可得到2。根據求得的總位形坐標陣和約束方程對時間的一次導數的方程，即可求得總速度位形坐標陣的各個參數。

（5） 計算總加速度位形坐標陣。根據求得的總位形坐標陣和總速度位形坐標陣，以及對約束方程求時間兩次導數的方程，同理容易求得總加速度位形坐標陣的各個參數。

（6） 確定剛體上關鍵點的運動規律。本例要計算剛體B2質心的運動規律，由于B2質心C點在剛體B2上，有：

xcyc=xc2yc2+A2ρ2c（5）

其中，A2為連體基c2x2y2z2相對于參考基o-xyz的方向余弦陣，ρ2c為剛體B2上C點相對于連體基c2-x2y2z2的坐標陣，易知為l220。

同理，由式（3）和（4）表示剛體B2質心的速度和加速度。因此，利用已求得的B2剛體的9個位形坐標即可得到剛體B2質心C的運動規律。

注意：本文對曲柄滑塊機構的運動分析是時間歷程分析，因此三個活動剛體共有27個運動學參數（總位形坐標、總速度位形坐標和總加速度位形坐標），它們均是隨時間變化的量；理論力學運動學的數學模型是代數方程組，并且大多數情況是非線性代數方程組，因此運動學分析主要任務是求解該非線性代數方程組；有關約束條件的建立可參考文獻[3]；有關數值方法求解非線性代數方程可參考文獻[4]。

5 結語

本文以理論力學運動學部分為例，簡要介紹了該部分基本原理，通過一個簡單的例子說明了利用運動學基本原理進行系統運動學分析的過程。在理論力學的教學過程中采用本文的運動學分析過程易于被學生所接受，對培養學生的自信心，提高學生學習的興趣，加深學生知識的理解具有一定的積極作用。

參考文獻：

[1]邢利英，王新征.工科理論力學教學改革與實踐[J].南陽師范學院學報，2010（03）：107109.

[2]葉紅玲，劉趙淼，李曉陽.理論力學課程中3W1H教學法的應用[J].力學與實踐，2014（01）：98100.

[3]洪嘉振，楊長俊.理論力學第3版[M].高等教育出版社， 2008.

[4]李慶揚，王能超，易大義.數值分析[M].北京：清華大學出版社， 2008.

基金項目：2016年桂林電子科技大學教育教學改革項目（JGB201601）；2017年廣西高等教育本科教學改革工程項目（2017JGB221）；2016廣西創優計劃項目

作者簡介：伍建偉（1989），湖南永州人，碩士，助教，研究方向：機械動力學與優化算法應用研究。