復變函數積分種類和辦法及留數簡單計算技巧

李夢雨 岳曉蕊

摘 要：文章旨在研究復變函數的積分的種類及其計算辦法，通過分析復變函數與實變函數積分的聯系與不同，根據被積函數與積分曲線的種類，文章將復變函數的積分主要分成三大類：路徑積分、解析函數的積分、閉合曲線上的積分，針對上述分類，分別討論計算辦法。特別地，對于無窮遠點處的留數的計算，文章提供了一種較為簡單的判斷辦法，并給予嚴格證明。

關鍵詞：復變函數的積分；路徑積分；牛頓-萊布尼茨公式；閉合曲線上的積分；無窮遠點處的留數

中圖分類號：O13 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2017）24-0113-03

Abstract： This paper probes into categories and calculation methods of integral of complex function. By analyzing the integral connections and differences between complex function and real variable function， this paper indicates three major categories： path integral， integral of analytic function and integral of closed curve based on the varieties of integrand and integral curve. It discusses calculation method respectively on the basis of the categories. Particularly， this paper puts forward an easier method to judge residues at the infinity and strictly demonstrates the method.

Keywords： integral of complex function； path integral； Newton-Leibniz formula； integral of closed curve； residue at the infinity

引言

復變函數的理論研究距今已有兩百多年的歷史，是數學中即古老又較為成熟的一門學科。復變函數的發展過程中相關理論及其應用的重要性可見一斑，尤其是解決一些實際問題，例如，物理中的電磁學和熱力學、空氣動力學、流體力學、彈性力學等領域中的數學模型。復變函數作為實函數的擴展，即當自變量退化為實數時，則復變函數即為實函數。自然地，實函數理論中的一個重要概念——積分，也擴展到復數領域。復數由實部和虛部構成，而復變函數也是由兩個二元實變函數相對應，這樣在處理復變函數積分時就要顯得麻煩得多[1-3]。

本文旨在研究復變函數的積分的種類及其計算辦法，并以典型例題加以說明。通過分析復變函數與實變函數積分的聯系與不同，根據被積函數與積分曲線的種類，將復變函數的積分進行分類，并針對不同種類闡明計算辦法。其中，對于無窮遠點處的留數的計算，本文提供了一種較為簡單的判斷辦法，并給予嚴格證明；特別地，當函數為有理分式時，分母的最高次冪大于等于分子的最高次冪加2時，則該函數在無窮遠點處的留數為零。

一、準備工作

四、結束語

本文整理歸納了復變函數積分的種類和計算方法。通過對比實函數與復變函數的聯系與區別以及探討積分路線和被積函數的不同情形，將復變函數的積分分為三類，并分別給出了積分辦法。尤其在留數定理的辦法中，我們發現并嚴格證明了一種計算無窮遠點處留數的高效的方法，從而簡化計算步驟。

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