關于三重積分的一題多解

房明磊 耿顯亞 李強

摘 要：給出了四種計算三重積分的基本方法，對同一個積分問題分別通過四種方法求解，并且給出了利用這四種方法所適用的條件和應注意的問題。

關鍵詞：三重積分；直角坐標；球面坐標；柱面坐標

中圖分類號：O172.2 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2017）24-0108-03

Abstract： This paper illustrates four essential methods to calculate triple integrals. One triple integral problem can be solved by four methods. Besides， this paper proposes the conditions and problems for using the four methods.

Keywords： triple integral； Cartesian coordinates； spherical coordinates； cylindrical coordinates

重積分一直以來都是學生在高等數學課程中學習的重點同時也是難點[1，2]，重積分通常指二重積分與三重積分。二重積分的求解通常是將一個二重積分轉化為二次積分，一般在直角坐標下與在極坐標系下考慮。在直角坐標系下根據積分區域通常分為X-型的或者Y-型的，X-型的積分表示先對y再對x積分，Y-型的積分表示先對x再對 y積分。在極坐標系下求解二重積分時一般積分區域是與圓相關的區域，它將一個二重積分轉化為先對極徑r再對極角？茲的二次積分。求解三重積分的基本思想是把三重積分轉換為三次積分，三重積分的常用求解方法有：在直角坐標系下的投影法（也稱為先一后二法）和切片法（也稱為先二后一法）、柱面坐標法和球面坐標法。怎么求解三重積分，一直困擾著很多同學，他們經常是拿到題目不知道用什么方法。主要表現為：首先很多同學對積分區域的空間想象或圖形不是很清楚，其次對三重積分計算適用于什么方法不能很好的把握，最后是對變量的積分上下限不知如何確定。下面用一道三重積分的例子[3]分別介紹在使用投影法、切片法、柱面坐標法、球面坐標法進行計算時所適合使用的條件和應注意的問題，直觀的體會它們的區別和進行計算的復雜程度。

一、采用投影法求解（先一后二）

投影法是計算三重積分最基本的方法，在求解中首先考慮條件是否滿足切片法、柱面坐標法、球面坐標法所適用的條件，若滿足，不用投影法，若都不滿足這時才考慮采用直角坐標系下的投影法。利用投影法求解時：首先要確定積分區域？贅在某個坐標平面的投影區域，如考慮在xoy面上的投影，投影區域就是變量x，y的范圍；其次確定變量z的范圍，用平行于z軸且與z軸正向同方向的射線從左到右去任意穿過積分區域？贅，若穿入或者穿出的曲面都是同一曲面，那么把這兩個曲面方程中的變量z分別用 x，y來表示，積分變量z的上下限就已確定，穿入的曲面為積分下限，穿出的曲面為積分上限，否則，穿入或者穿出的不是同一曲面，就要對積分區域進行分割處理。

二、采用切片法求解（先二后一）

切片法一般適用的條件為：第一：被積函數僅為某一個變量的函數，如只為變量z的函數；第二：用平行xoy面的平面去切割積分區域？贅時，所截的面是規則圖形，比如是圓或圓的一部分時可以考慮采用切片法求解。在采用切片法求解時要注意截面是否發生變化，若有變化需對積分區域進行分割處理后計算。如何判斷截面是否發生變化：用平行xoy面的平面由下往上依次去切割積分區域？贅，若平面與不同的曲面相交，則表示截面發生了變化；否則沒有發生變化。若截面沒有變化，那么把這個曲面方程中含變量x，y的項放在等號的左端，其他項放在等號的右端，再把等號變成小于等于，此表達式就是截面區域的方程。

三、采用柱面坐標法求解

柱面坐標法一般適用的條件為：第一：被積函數中含有兩個變量的平方項，如含有x2+y2某種形式；第二：積分區域？贅在某個坐標平面上的投影區域是圓、環或圓的一部分，如在xoy面上的投影區域為圓或者圓的一部分，則適用于柱面坐標法求解。在采用柱面坐標法求解時：首先要明確變量的轉變，從x，y，z變成了？茲，r，z其中？茲，r分別為積分區域？贅在xoy面上的投影區域用極坐標系來表示的極角和極徑，柱面坐標一般表示形式為x=rcos？茲，y=rsin？茲，z=z。其次三重積分中體積元素變為dxdydz=rd？茲drdz。柱面坐標法與前面的投影法聯系起來，可以理解為投影法的特殊形式，當投影法的投影區域適用極坐標系處理時，則直角坐標系下的投影法即轉化為柱面坐標法，因此往往柱面坐標法不用特殊的去學習，若投影法和二重積分的極坐標求解清楚，那么用柱面坐標法就沒有問題了。

四、采用球面坐標法求解

最后注意是否要對積分區域進行分割計算：通常用過坐標原點的射線去任意穿過積分區域？贅，若穿出的曲面不是同一曲面，則需要對積分區域進行分割計算，否則不需要分割。

在這個例子中，若直接采用三重積分在直角坐標系下的投影法計算該問題比較復雜，雖然這種方法的計算較為復雜，但有助于學生掌握在直角坐標系下如何將三重積分轉化為三次積分，而利用切片法計算時注意到了積分區域屬于需分割情形，要對積分區域進行分割，但求解時發現先計算的二重積分恰好是截面為圓的面積，接下來計算定積分時是對多項式函數的積分，雖要計算兩個積分，但是計算都很簡單，很容易就可得出結果。觀察滿足適用條件時發現此題也適用于柱面坐標法和球面坐標法，求解計算量也不大，所以此題在積分區域或被積函數的特點上都符合切片法、柱面坐標法和球面坐標法所適用的條件，此例采用切片法、柱面坐標和球面坐標計算都很適用。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.高等數學（第6版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

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