淺談二次函數(shù)與線段最值問題

張駿峰??

摘 要：中考的壓軸題通常是函數(shù)搭臺(tái)，幾何唱戲。初中所學(xué)函數(shù)就是將生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即構(gòu)建函數(shù)數(shù)學(xué)模型的有效載體，特別是二次函數(shù)；而數(shù)形結(jié)合思想是分析、解決問題的關(guān)鍵。有關(guān)線段最值問題與二次函數(shù)的綜合是中考?jí)狠S題中的常客，它讓很多同學(xué)束手無策，望而生畏，實(shí)際上解這類試題關(guān)鍵是要理清題意，將線段最值問題借助相關(guān)的概念、性質(zhì)與思想，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析，利用典型的基本圖形加以解決，常常會(huì)事半功倍！

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；線段最值；轉(zhuǎn)化；數(shù)形結(jié)合；基本圖形；數(shù)學(xué)模型

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）24-109-1

初中二次函數(shù)的線段問題綜合題中，涉及到的類型通常有：1.直接求線段的長(zhǎng)或用含字母的式子表示線段的長(zhǎng)；2.根據(jù)題中給出的線段關(guān)系求相應(yīng)字母的值；3.求多邊形周長(zhǎng)、面積的最值。其中求三角形或四邊形周長(zhǎng)、面積的最值，一般要將其轉(zhuǎn)化為求某線段長(zhǎng)的最值或利用兩點(diǎn)之間線段最短來求最值。

讓學(xué)生理解并掌握在二次函數(shù)背景下借助基本圖形研究線段最值問題的方法；在分析解決問題的過程中體會(huì)數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想；在這過程中培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建二次函數(shù)模型并借助基本圖形解決最值問題的意識(shí)及能力是至關(guān)重要的。在此，筆者結(jié)合自身一些教學(xué)實(shí)踐，就“二次函數(shù)與線段最值問題”方面，談一談自己的一些做法。

一、求豎直線段長(zhǎng)的最值問題

這類問題通常是過拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)作x軸的垂線（或y軸的平行線），且與某直線相交于一點(diǎn)，以確定兩點(diǎn)之間長(zhǎng)度關(guān)系的形式出題。解決此類問題時(shí)，一般要將線段問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)問題，根據(jù)拋物線和直線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，設(shè)這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而得到這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后用含字母的式子表示兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)，特別是遇到線段最值問題時(shí)，一般要結(jié)合二次函數(shù)求最值的方法，將二次函數(shù)解析式配成頂點(diǎn)式或利用公式求最值。

具體圖形如下圖所示：“在題目中已知直線l：y=12x+1與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)C。拋物線y=-2x2-72x+1的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)（B在A右邊），點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作y軸平行線交直線AC于Q點(diǎn)，求線段PQ的最大值。”

如何求線段PQ的最大值呢？首先要分析：如果想要線段PQ的最大值，必須明確P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可以用含有m的式子表示P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，通過觀察，容易發(fā)現(xiàn)P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，說明線段PQ是一條豎直線段，然后再利用豎直線段長(zhǎng)=y上-y下求得PQ=-2m2-4m，接著可以結(jié)合二次函數(shù)求最值的方法，將二次函數(shù)解析式配成頂點(diǎn)式PQ=-2（m+1）2+2，然后求得最大值為2。

二、求水平線段長(zhǎng)的最值問題

若將上題的問題改為：過點(diǎn)P作x軸平行線交直線AC于N點(diǎn)，求線段PN的最大值呢？通過觀察，容易發(fā)現(xiàn)P、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，說明線段PN是一條水平線段，可以利用水平線段長(zhǎng)=x右-x左將PN用二次函數(shù)求最值的方法求得最大值為4。

值得探究的是水平線段PN的長(zhǎng)與豎直線段PQ長(zhǎng)有內(nèi)在聯(lián)系嗎？過點(diǎn)P作y軸平行線交直線AC于Q點(diǎn)，稍作思考就不難發(fā)現(xiàn)，tan∠PQN=tan∠OCA，所以PNPQ=OAOC=2；即PN=2PQ，從而容易求得線段PN的最大值為4。由此可知：求水平線段長(zhǎng)的最值問題可轉(zhuǎn)化為求豎直線段長(zhǎng)的最值問題。

三、求斜線段長(zhǎng)的最值問題

若將上題的問題改為：求P點(diǎn)到直線AC距離的最大值。同樣的問題，斜線段PH的長(zhǎng)與豎直線段PQ長(zhǎng)有內(nèi)在聯(lián)系嗎？過點(diǎn)P作y軸平行線交直線AC于Q點(diǎn)，再由sin∠PQH=sin∠ACO可知PH=255PQ。

進(jìn)而求得線段PQ的最大值為455。由此可知：求斜線段長(zhǎng)的最值問題可轉(zhuǎn)化為求豎直線段長(zhǎng)的最值問題。

四、求三角形周長(zhǎng)的最值問題

若將上題的問題改為：作PD⊥x軸于D點(diǎn)，交AC于Q點(diǎn)，作PH⊥AC于H點(diǎn)，求△PQH周長(zhǎng)的最大值。顯然，求三角形周長(zhǎng)的最值問題可轉(zhuǎn)化為求豎直線段長(zhǎng)的最值問題。

五、求三角形面積的最值問題

這類求多邊形面積問題通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系問題。解題技巧一般是過特殊點(diǎn)作x軸或y軸的垂線，將所求面積進(jìn)行分割，再將面積問題轉(zhuǎn)化為線段問題，構(gòu)建函數(shù)模型，通過二次函數(shù)的增減性求得相應(yīng)的最值。

若將上題的問題改為：連接PA，PC。求△PAC面積的最大值。過點(diǎn)P作y軸平行線交直線AC于Q點(diǎn)，故S△APC=S△APQ+S△QPC=12PQ·（xP-xA）+12PQ·（xC-xP）=12PQ·（xC-xA）=12PQ·OA，顯然，求三角形面積的最值問題也可轉(zhuǎn)化為求豎直線段長(zhǎng)的最值問題。

這種轉(zhuǎn)化的思想，借助基本圖形的方法，在初中數(shù)學(xué)幾何證明題中屢見不鮮，若能掌握了這一解決技巧，就能以不變應(yīng)萬變，提高初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效益，進(jìn)而減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，讓學(xué)生在面對(duì)星羅棋布的習(xí)題時(shí)能夠游刃有余，隨機(jī)應(yīng)變，真正實(shí)現(xiàn)了素質(zhì)教學(xué)減負(fù)增效的要求。當(dāng)然有些問題還有其他好的解法。我想：無論是基本圖形的積累，還是建模思想的滲透，解題的方法因人而異，固定一個(gè)模式，有利有弊，模型的小船說翻就翻！