談數學概念表象的深刻直覺

曹榮榮+田磊+王彩芬+紀春靜

摘要：高等數學的概念教學是數學學習的關鍵，學生獲得一個數學概念的理解意味著要形成該概念的表象，僅僅知道概念定義并不能保證真正理解這個概念。個體擁有的概念表象是具有一定層級水平的，而深刻直覺是概念發展的一個特定階段。本文在Tall數學“三個世界”的理論框架下針對具體案例進行了闡述。

關鍵詞：概念表象；數學“三個世界”；深刻直覺；三角形；四面體

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）20-0236-02

一、理論背景

高等數學中的概念在教與學中起著重要的作用。“概念定義”和“概念表象”之間的不同在數學認識論和教學法上具有重要意義，正如Vinner指出的“當我們執行認知任務時，思維并不是訴諸于概念定義，而是受概念表象的指導。在遇到新任務的時候，學生們就需要頭腦中的概念表象”。

“概念表象”和“概念定義”理論最初是由Vinner&Hershkowitz提出的，后來由Tall&Vinner進行了發展，再后來Morre又進行了修改。在我們的認知結構中，其實存在概念定義和概念表象兩個不同的“細胞”。概念定義是直接描述的，它是以詞語和符號的形式被教師或教科書用來定義數學概念的。Tall&Vinner指出“概念表象”是個體在頭腦中對概念的整個認知表征，包含思維圖像、相關性質和過程等。這種思維表征是在不同水平上建立的，因此會產生不一致或者概念表象本身可能會產生混淆或不協調。Semadeni認為“深刻直覺”是概念表象發展的一種水平，它是概念表象發展到一定的水平結果，這也是在Tall的數學“三個世界”的理論框架下提出來的。

概念表象是在經驗的基礎上經過多年累積形成的，它是一個動態的概念實體，它是不斷發展的，每個學生一般都擁有不同的概念表象，比如減法概念，首先是涉及到正整數的一個過程，在這個階段，學生可能觀察到數的減法總是減少，對他們來說這個觀察就是概念表象的一部分，但后來這種理解可能會引起問題。

Tall的數學“三個世界”理論區分了數學思維的三個模式。這“三個世界”在某種意義上來說是具有層級的，第一世界稱為“概念—感知”世界，又稱為“具體化世界”。個體利用他們對現實世界的物理感知來完成思維實驗，比如兒童對現實世界物體的分類或對極限的直覺體驗等。第二個世界稱為“程序—符號”世界，又稱之為“符號化世界”，個體開始對來自于第一世界的思維想法進行程序性操作，通過符號的使用凝聚為概念，這個符號既表示過程也表示概念，比如“數”和“和”概念等。第三個世界稱為“形式—公理化”世界，又稱之為“形式化世界”，這里關注的則是數學公理化體系理論。

二、具體案例

在20世紀，整個數學共同體中并沒有形成統一的關于“三角形”正式的形式化定義，但卻存在以下三方面的共識。

1.三角形就是一個無序的、不共線的三點A，B，C的集合{A，B，C}。他們認為點{A，B，C}其實是一個“零維”集合，可以形象地認為三角形就像是天空中的三顆星星。

2.三角形是一個含有三個頂點的多邊形，即三條線段AB、BC、CA的一個集合，Hilbert認為三角形上的點即是AB∪BC∪CA上的點。這其實是把三角形看作“一維”圖形，在他們看來，三角形就是要畫出三角形的三條邊。

3.三角形△ABC可以看作三個半平面相交而形成的圖形。事實上，這是在“二維”視角下將三角形看作是一個扁平的圖形。

對“三角形”概念的所有認知都是不同“具體化”理解的結果。當個體進行三角形命題的推理時，三角形的所有這些概念表象的混合可能會同時被激起，也就是說當個體能夠理解簡單的涉及三角形的歐幾里得幾何證明時，此時三角形的概念表象則達到了深刻直覺的水平。事實上，個體在執行任務時不需要知道三角形的上述圖形，但是個體需要理解他們以及彼此的關系。

從形式化的觀點上看，這幾個圖形是不同的數學對象，因此三角形會有不同的概念定義，但是在深刻直覺下他們卻是同一個思維對象，因此對“三角形”概念的多元化認知會幫助個體靈活地運用不同的數學對象。

再比如“四面體”，我們可以把四面體看作是有邊界的封閉固體點的集合，也可以看作是包含四個面、六個邊、四個頂點的一個結構體。同時，如果把四面體可以看作一個三棱錐，這樣有一個面和其他三個面不同，則稱之為三棱錐的底。這些觀點都是建立在“具體化世界”的基礎上而形成的概念表象。事實上，四面體是一個度量空間，它是向量空間或仿射空間中的一個凸集。這種認知則是在“公理化世界”的背景下建立的，同樣適用于“符號化世界”。

所有這些關于四面體的不同觀點在Freudenthal針對數學結構的討論中都提及到了。如果個體的概念表象包含了上述一個或更多方面，這時我們就說個體達到了概念理解的深刻直覺水平。

三、建議結論

深刻直覺，作為概念表象發展的一個特定水平，它其實是深深植根于數學“三個世界”的“具體化世界”中。盡管深刻直覺并不能直接觀察到，也不能推斷出，但是它卻能提供一種思路來探究數學。深刻直覺可以假定為概念理解的一個臺階，在個體能夠理解演繹推理之前，他們就需要事先形成一些具體特定的深刻直覺。擁有概念的深刻直覺，個體就可以把它作為一種內在思維靈活、自由地運用。同時，發展深刻直覺也是培養學生演繹推理的關鍵因素。

參考文獻：

[1]Tall，D.O.Introducing three worlds of mathematics. For the learning of Mathematics，2004，23（3）：29-33.

[2]Vinner，S.Concept definition，concept image and the notion of function，International Journal of Mathematics Education in Science and Technology，1983，（14）：239-305.

[3]Vinner，S.，&Hershkowitz，R.Concept image and common cognitive paths in the development of some simple geometrical concepts.Proceedings of the Fourth International Conference for the Psychology of Mathematical Education，1980：177-184. Berkeley CA.

[4]Tall，D.& Vinner，S.Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics，1981，12（2）：151-169.

[5]Morre，R.Making the transition to formal proof.Educational Studies in Mathematics，1994，（27）：249-266.

[6]Semadeni，A.Deep intuition as a level in the development of the concept image.Educational Studies in Mathematics，2008，（68）：1-17.

[7]Freudenthal，H.Revisiting mathematical education.China lectures.Dordrecht：Reidel，1991.