談構造可導函數證明不等式的幾點小竅門

普成秀

(廣南縣第一中學 云南 廣南 663300)

談構造可導函數證明不等式的幾點小竅門

普成秀

(廣南縣第一中學 云南 廣南 663300)

導數作為研究數學的重要工具，可以解決很多的問題，本文將闡述利用導數法證明不等式的方法。

構造;可導函數;不等式

高中數學證明不等式的常用方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法、反證法、數學歸納法等。但是當不等式比較復雜時，用初等的方法證明會比較困難,有時還證不出來。如果用函數的觀點去認識不等式,利用導數為工具,那么不等式的證明就會化難為易。本文通過舉例闡述，從所證不等式的結構和特點出發，結合自己已有知識，構造一個新的函數，再借助導數確定函數的單調性，利用單調性實現問題的轉化，從而使不等式得到證明。

用導數方法證明不等式，其步驟一般是：構造可導函數——利用導數研究單調性或最值——得出不等關系——整理得出結論。

一、直接作差構造函數

一般地，證明f(x)>g(x),x∈(a,b),可以構造函數F(x)=f(x)-g(x),利用求導的方法研究函數的單調性，判斷F(x)的區間端點函數值與0的關系，來證明不等式。

證明：設f(x)=sinx-x,則f'(x)=cosx-1。

∵x∈(0,π),∴f'(x)<0。∴f(x)=sinx-x在x∈(0,π)內單調遞減，而f(0)=0。

∴f(x)=sinx-x

二、將區間的一個端點設為自變量而構造函數

考慮到不等式涉及的變量是區間的兩個端點，因此，設輔助函數時就把其中一個端點設為自變量。

三、直接利用條件函數證明不等式

觀察條件函數與不等式的關系，直接利用條件函數來構造可導函數。

例3.已知函數f(x)=-x2+ln(1+2x)

∵b>a>0

四、通過換元來構造函數

令h(x)=x3-x2+ln(x+1)

從以上幾例可以看出，導數不僅是證明不等式的重要思想方法，也是判斷函數的單調性、求函數極植、最值等的重要思想方法，這類試題在考查綜合能力的同時，充分體現了導數的工具性和導數應用的靈活性，與新課程標準接軌，彰顯時代氣息。

[1]普通高中課程標準實驗教科書《數學》(選修2—2)人民教育出版社

[2]《高考真題》北京天利考試信息網