橡皮筋串并聯勁度系數的變化規律

牟 平

(白銀市平川中學 甘肅 白銀 730913)

橡皮筋串并聯勁度系數的變化規律

牟 平

(白銀市平川中學 甘肅 白銀 730913)

就一道關于橡皮筋長度問題的檢測題的解答正確與否，教師們有分歧和爭論，由此就橡皮筋的勁度系數變化規律做了歸納總結，指出了原題解答的錯誤所在.

檢測題 錯解 橡皮筋 勁度系數

在一次集體備課時，就《當代中學生報》上的一道物理單元檢測題的解答對錯與否，幾位教師見解不一，展開了熱烈的爭論，原題及解答如下.

【題目】如圖1所示，一橡皮筋原長L0=10 cm，其下端懸掛質量m=1 kg的重物后，長度變為L=14 cm，已知在彈性限度內，此橡皮筋的彈力與形變量符合胡克定律，取g=10 m/s2.

圖1 題目的題圖

(1)求橡皮筋的勁度系數.

(2)若將橡皮筋繞過一小定滑輪后，兩端均固定于天花板上，再將重物懸掛于定滑輪下，不計定滑輪的大小、重量與摩擦，兩端橡皮筋豎直，求此時橡皮筋的總長度L′.

解：

(1)根據胡克定律有

F=κx

而

F=mgx=L-L0

解得

κ=250 N/m

(2)此時每段橡皮筋上的彈力為

每段橡皮筋的伸長量為

橡皮筋的總長度為

L′=L0+2x′=14 cm

那么，上述解答是否正確呢？要回答這個問題，先要弄清楚以下有關橡皮筋勁度系數變化的幾種情形.

1 橡皮筋截短后的勁度系數

如橡皮筋的原長為L0，勁度系數為κ，則彈力F與伸長量x遵從胡克定律，即

F=κx

(1)

(2)

設其勁度系數變為κ1，則

F=κ1x1

(3)

由以上式(1)、(2)、(3)可得

如果選取

則

κ1=2κ

可見橡皮筋截短后，勁度系數變大.

2 橡皮筋串起來后的勁度系數

設兩條橡皮筋的原長分別為L1和L2,勁度系數分別為κ1和κ2，串起來后的勁度系數為κ，則當用力F拉橡皮筋時，兩條中的彈力均為F，故其伸長量分別為

總伸長量

所以整體的勁度系數

同理，如勁度系數分別為κ1，κ2和κ3的3條橡皮筋串起來，則其總的勁度系數為

3 兩條橡皮筋并起來后的勁度系數

設兩條橡皮筋的勁度系數分別為κ1和κ2，如兩條橡皮筋原長相等，則可直接并起來．而如果原長不相等，就需要用細線將短的一條加長后再和長的并起來使用，如圖2所示．

圖2 并起來的兩條橡皮筋

此時如果用力F拉橡皮筋，則兩條中的彈力不相同，設分別為F1和F2，則總彈力F=F1+F2，而每條橡皮筋的伸長量和總伸長量均為x，故勁度系數

同理，如勁度系數分別為κ1，κ2和κ3的3條橡皮筋并起來，則其總的勁度系數κ=κ1+κ2+κ3．如3條勁度系數均為κ的橡皮筋串起來，則其勁度系數變為3κ．

可見，橡皮筋并聯起來，其等效勁度系數變大.

4 應用討論的結果求解題

弄清楚橡皮筋勁度系數的變化規律后，再看文章開頭的題目．

第一種思路是橡皮筋相當于先被截為等長的兩段再并起來，如圖3所示.

圖3 第一種思路解題

每段的勁度系數均變為2κ,兩段并起來后總的勁度系數變為4κ,所以有mg=4κx，則

故總長度

L′=L0+2x=12 cm

圖4 第二種思路解題

故總長度

L′=L0+x=12 cm

原題解答錯在認為將重物用滑輪按圖3方式掛起來后兩段的勁度系數仍然為κ.實際每段的勁度系數已變為2κ,而兩段的伸長量相等，均為

故總長度仍為L′=L0+2x=12 cm

這應該是第三種思路.

2016-11-30)