一題三解各顯其妙

葛舟凡

[浙江省寧海中學高三(3)班 浙江 寧波 315600]

一題三解各顯其妙

葛舟凡*

[浙江省寧海中學高三(3)班 浙江 寧波 315600]

旨在通過一題多解，優(yōu)化解題策略，提高運用數學知識提高解決物理問題的能力．

習題 妙解 導數

近期科任老師在二輪復習教學中，講了一類動態(tài)變化的極值問題，其中有這樣一道關于瞬時功率的經典習題，同學們拿到習題后都議論紛紛，怎樣快速地找出最大值所在處？這其實離不開數學知識的運用．

【題目】一端固定在O點的一輕繩拴一小球，現將小球用手拉起，使輕繩水平拉直，小球處于A位置，然后將小球無初速度的釋放，如圖1所示，小球運動的最低點為B點，那么，在A到B的過程中，小球所受重力的瞬時功率如何變化？何處取得最大值？

圖1 題目題圖

解法一：極端分析法

對于重力功率如何變化這個問題，同學們從瞬時功率的表達式出發(fā)P=mgvcosα出發(fā)，因為A的速度為零，B點的速度方向與重力方向間的夾角為90°，所以很容易得到A，B點的重力的瞬時功率為零，繼而得到從A到B的過程中重力的瞬時功率先增大后減少的變化規(guī)律．

那么，在何處有最大值，則離不開運用數學知識的推理．

解法二：基本不等式法

設C位置重力的瞬時功率最大，繩長為L,此時小球運動到與水平方向成α角，則速度v與重力mg之間的夾角也為α．根據重力的瞬時功率

P=mgvcosα

(1)

從A到C由動能定理或機械能守恒定律，得

(2)

由式(1)、(2)可得

(3)

至此，得到式(3)后，就轉化為如何求“sinα·cos2α”的極值問題了．

(4)

根號內3個數乘積求極值，與這3個數相加的關系是什么呢？

由基本不等式

(a、b、c均為正數，且a=b=c時取等號)

注意到2sin2α+cos2α+cos2α=2

由此可得，當2sin2α=cos2α，即

重力的瞬時功率達到最大值．

解法三：利用導數法

即可知P有最大值．

點評：方法一是把所給問題中的狀態(tài)直接推至極端狀態(tài)，通過對極端狀態(tài)的分析，達到對非極端狀態(tài)作出正確判斷的目的．當題目要求定性判斷某一物理量隨其他物理量變化的趨勢時，可假設其他變量為極端情況，判斷出該量在這種極端情況下有無最大值或最小值，進而可推出該量的變化趨勢．方法二運用基本不等式，屬于比較常規(guī)的方法，難得之處是涉及3個變量，因此具有一定的難度．方法三運用導數求解，巧思妙解，體現知識的活用，還比如在圖像問題中的斜率實質也是求導，導數在物理學的應用實質上是將物理內容結合到它的幾何意義中，導數在求解物理量極值時具有比較簡單方便等優(yōu)勢，不拘一格，實屬創(chuàng)新之杰作．綜上可以看出通過一題多解有助于從不同的角度去分析問題，優(yōu)化解題策略，開拓思維，提高運用數學知識解答物理問題的能力．

2017-01-05)

*指導教師：潘春芳(1969- )，男，中教高級，主要從事中學物理課堂教學和教育管理.