倒立擺的串級控制系統設計

郭丙君

[摘要]在保證倒立擺擺桿不倒的條件下，使小車位置可控，應用串級控制設計方法，內環按照典I系統外環按照典II系統設計原則設計，仿真結果驗證了控制系統具有良好的性能。

[關鍵詞]倒立擺；串級控制；設計

0前言

倒立擺是一種典型的快速、多變量、非線性、絕對不穩定系統。人們試圖尋找不同的控制方法以實現對倒立擺的控制，以便檢驗或說明該方法對嚴重非線性和絕對不穩定系統的控制能力。

目前。已經報道了多種先進的控制方案如最優控制、自適應控制、智能控制等在倒立擺平臺上成功應用。但是比較少有報道在保證倒立擺擺桿不倒的條件下，使小車位置可控。

1直線一級倒立擺的數學模型

首先給出直線一級倒立擺的數學模型。由動力學理論可以推導出直線一級倒立擺的運動方程，對其運動方程進行近視處理可到簡化模型如式（1）。

（1）

式中：x為小車的位移；θ為擺桿與垂直向上方向的夾角；F為被控對象的作用力；M為小車質量；m為擺桿質量；J為擺桿慣量；2l為擺桿的長度；g為重力加速度。參數分別取值為M=1kg，m=1kg，l=0.3m，J=0.03kg*m*m。

將作用力F為系統的輸入量，可以得到模型為：

（2）

電動機、驅動器、機械傳動裝置三個環節可近似為一個比例環節，比例增益為1.6。

2串級控制系統設計

一級倒立擺系統位置伺服控制的核心是在保證擺桿不倒的條件下，使小車位置可控。應用串級控制原理進行設計控制系統如圖1所示。

設計原則是先內環后外環，與雙閉環直流調速系統電流調節器、轉速調節器設計相類似。

1）內環控制器的設計

內環是要求根據跟隨性最佳原則來設計，由于內環角度被控對象是不穩定的，采用比例或者比例積分控制是不穩定。內環按照典I系統設計，對系統內環應該采用反饋校正進行控制，其框圖如圖2所示。

（3）

（4）

2）外環控制器的設計

外環的前向通道傳遞函數為：

（5）

表明是一個高階帶不穩定零點的非最小相位系統，表明車位的控制采用比例或者比例積分方案也是不穩定。應用工程設計方法，對外環模型進行降階處理，降階處理的條件與雙閉環直流調速系統中一致。先忽略G_B2（s）的高次項，可以近似為一階傳遞函數為：

（6）其次，對模型G₁（s）進行降階處理，G₁（s）的傳遞函數為：

（7）

為了使得外環具有比較好的抗干擾能力，外環控制器應該按照典Ⅱ系統設計，顯然，外環控制器應該為PD形式，其傳遞函數為：

則，外環的系統開環傳遞函數為：

（8）

式中時間常數T=0.177。

為了使得典Ⅱ系統具有比較好的抗干擾能力，應該取典II系統的中頻段寬度h=5，這樣，可以得到：

（9）

調節器參數為：K₄=0.38，K₅=1。

3仿真實驗

根據上節設計的控制器參數及被控對象的模型，由于進行了近似處理，在仿真過程中外環的控制器參數進行優化，K₄=0.2，K₅=l。仿真實驗結果如圖3、圖4所示。圖3可以看出系統大約在3s就穩定了，小車位置就穩定在1，控制效果良好。圖4表明在30s加入了一個單位為1的位置擾動，小車位置仍然穩定在1，表明了具有較好的抗擾能力。

4結論

通過應用雙閉環控制系統的設計方法對一級倒立擺系統進行控制，在保證倒立擺擺桿不倒的條件下，使小車位置可控的，應用工程設計進行設計是可行的，仿真結果表明該控制方案可以達到良好的控制效果。

[責任編輯：楊玉潔]