Abaqus中一種考慮材料阻尼的隨機(jī)響應(yīng)分析方法

鄧長(zhǎng)喜

[摘要]介紹了Abaqus中隨機(jī)響應(yīng)分析的特點(diǎn)，簡(jiǎn)要論述了虛擬激勵(lì)法的理論基礎(chǔ)，介紹了利用Abaqus諧響應(yīng)分析結(jié)果得到隨機(jī)響應(yīng)結(jié)果的步驟。并以懸臂梁為例，將本文方法和Abaqus中自帶隨機(jī)振動(dòng)求解器計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明，兩者誤差很小，本文方法計(jì)算結(jié)果可信。

[關(guān)鍵詞]隨機(jī)響應(yīng)；振動(dòng)；虛擬激勵(lì)法；大阻尼

0引言

在工程上，隨機(jī)響應(yīng)分析常用來(lái)預(yù)先分析設(shè)備抵抗隨機(jī)載荷的能力。隨機(jī)振動(dòng)將概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)中的方法應(yīng)用到評(píng)估設(shè)備結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性、識(shí)別、響應(yīng)以及可靠性上，形成了一個(gè)相關(guān)學(xué)科相結(jié)合的新產(chǎn)物。

Abaqus作為一個(gè)通用有限元求解器，在各個(gè)行業(yè)得到了廣泛的應(yīng)用。隨機(jī)分析的激勵(lì)作為時(shí)間的函數(shù)。具體載荷（力、速度等）都是未知的，載荷的本質(zhì)是通過(guò)統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法描述。在Abaqus中進(jìn)行隨機(jī)響應(yīng)分析時(shí)，直接輸入激勵(lì)的功率譜密度（PSD）曲線(xiàn)，然后有求解器直接計(jì)算出結(jié)構(gòu)響應(yīng)的功率譜密度曲線(xiàn)和對(duì)應(yīng)的均方根（RMS）值。隨機(jī)響應(yīng)分析是一個(gè)頻域的線(xiàn)性攝動(dòng)分析過(guò)程，通過(guò)結(jié)構(gòu)的特征模態(tài)來(lái)計(jì)算得到。阻尼可以通過(guò)模態(tài)阻尼、結(jié)構(gòu)阻尼、瑞利阻尼或者復(fù)合阻尼等方式施加到結(jié)構(gòu)模型中。直接隨機(jī)響應(yīng)分析具有方便操作，計(jì)算速度快等特點(diǎn)。但是，直接隨機(jī)響應(yīng)基于模態(tài)疊加法，使用的是全局的模態(tài)阻尼，只適用于小阻尼的情況，不能形成阻尼矩陣參與動(dòng)力學(xué)分析，無(wú)法為材料添加阻尼，在含有大阻尼的橡膠材料構(gòu)成的減震器模型中無(wú)法應(yīng)用該分析。

本文簡(jiǎn)要介紹了虛擬激勵(lì)法，并通過(guò)該方法處理Abaqus穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)分析結(jié)果得到對(duì)應(yīng)PSD激勵(lì)下的隨機(jī)響應(yīng)結(jié)果，并且和常規(guī)隨機(jī)響應(yīng)分析結(jié)果做出對(duì)比。

1基本原理

穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)和隨機(jī)振動(dòng)分析在Abaqus中都是基于掃頻分析，本質(zhì)上是一樣的。

但是，穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)（正弦振動(dòng)）分析的輸入（激勵(lì)）是各個(gè)頻率點(diǎn)的加速度或位移峰值，響應(yīng)為各個(gè)頻率點(diǎn)的加速度或位移峰值。得到的傳遞函數(shù)為單位激勵(lì)下每個(gè)頻率點(diǎn)的響應(yīng)。它是按照用戶(hù)設(shè)定的掃頻點(diǎn)一個(gè)一個(gè)地進(jìn)行分析。如果輸入的激勵(lì)為單位值，則各個(gè)頻率上的單位激勵(lì)。引起各個(gè)頻率上的響應(yīng)。也就是傳遞函數(shù)。

隨機(jī)振動(dòng)分析的輸入（激勵(lì)）是每個(gè)頻率成分的加速度密度值。加速度PSD曲線(xiàn)在整個(gè)頻率段上的積分為加速度均方值，開(kāi)根號(hào)后為均方根加速度。響應(yīng)也是每個(gè)頻率成分的加速度密度值，積分再開(kāi)根號(hào)得到響應(yīng)的均方根加速度，雖然它也是按照用戶(hù)設(shè)定的掃頻點(diǎn)一個(gè)一個(gè)地進(jìn)行分析，但是它是一個(gè)PSD曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)一個(gè)響應(yīng)，各個(gè)頻率上的激勵(lì)，引起各個(gè)頻率上的響應(yīng)。

所以，穩(wěn)態(tài)動(dòng)力分析是各個(gè)掃頻點(diǎn)的激勵(lì)對(duì)應(yīng)各個(gè)掃頻點(diǎn)的響應(yīng)，隨機(jī)響應(yīng)分析是所有頻率成分的密度組成的一個(gè)激勵(lì)對(duì)應(yīng)所有頻率成分密度組成的一個(gè)響應(yīng)。它們之間的橋梁就是傳遞函數(shù)。

對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)的線(xiàn)性系統(tǒng)，頻率響應(yīng)表征了系統(tǒng)在頻域的動(dòng)態(tài)特性，決定了系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系。在零初始條件下，頻響函數(shù)是輸出與輸入的復(fù)數(shù)之比，即

（1）

式中，H（f）為頻響函數(shù)，f為頻率，Y_f（t）為響應(yīng)y（t）的傅立葉變換，X_t（t）為激勵(lì)x（t）的傅立葉變換。

對(duì)于收到平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)的系統(tǒng)，激勵(lì)的功率譜密度S_x（f）已知，構(gòu)造如下的虛擬激勵(lì)：

（2）

由式子（1），可以得到在虛擬激勵(lì)下的虛擬響應(yīng)為：

（3）

由虛擬激勵(lì)得到虛擬響應(yīng)之后，可以由下列公式計(jì)算真實(shí)響應(yīng)的自功率譜密度、真實(shí)激勵(lì)與真實(shí)響應(yīng)的互功率譜密度：

（4）

（5）

（6）

2Abaqus算例

2.1基本思路

此方法將常規(guī)的隨機(jī)響應(yīng)分析轉(zhuǎn)化為了諧響應(yīng)分析，間接由SSD響應(yīng)結(jié)果轉(zhuǎn)化而來(lái)。求解的基本思路如下：

1）求取系統(tǒng)的頻響函數(shù)。采取Steady_State dynamics求解器，選用Dieret方法，該方法可以設(shè)置各材料的阻尼值。

2）通過(guò)頻響函數(shù)求取關(guān)心參數(shù)（如Mises應(yīng)力）的PSD響應(yīng)，參考公式如下！

（7）

其中，S_xx（ω）是輸入（激勵(lì)）的PSD函數(shù)，S_yy（ω）是輸出（響應(yīng)點(diǎn)）的PSD函數(shù)，H（ω）是結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)。

3）通過(guò)PSD響應(yīng)求關(guān)系參數(shù)在掃頻范圍內(nèi)的RMS值，對(duì)PSD響應(yīng)曲線(xiàn)進(jìn)行積分（即求曲線(xiàn)下的面積）即可以得到RMS曲線(xiàn)。關(guān)心頻率上限對(duì)應(yīng)的值就是關(guān)心頻率內(nèi)的RMS值。

2.2算例

算例模型是尺寸為914.4mm*76.2mm*12.7mm的懸臂梁，密度為2.7793E-9T/mm³，彈性模量為68965MPa，柏松比為0.3，模型在毫米制單位下建立。為了計(jì)算的快速，網(wǎng)格數(shù)量為30*1*1，類(lèi)型為C3D8I。一端完全約束，另一端自由。

諧響應(yīng)分析中材料阻尼定義為0.06，給模型添加X(jué)方向的單位加速度正弦激勵(lì)；隨機(jī)響應(yīng)分析中阻尼為整體的模態(tài)阻尼，大小為0.03，同樣將激勵(lì)添加到x方向，添加的加速度功率譜密度曲線(xiàn)定義如下：

*Psd-definition，name=Amp-1，g=9800.，type=BASE

0.0001，0.，1.

0.01，0.，4.

0.01，0.，100.

0.001，0v，200v

經(jīng)過(guò)分析，模型在1-200Hz內(nèi)的模態(tài)如表1所示。

讀取模型中編號(hào)為125、141的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行對(duì)比，圖2為常規(guī)隨機(jī)響應(yīng)分析結(jié)果，圖3為由SSD分析結(jié)果轉(zhuǎn)換而來(lái)的真實(shí)隨機(jī)響應(yīng)結(jié)果。在圖4中，將兩中方法得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，在峰值附近兩種結(jié)果的誤差很小。圖5、圖6分別為兩點(diǎn)在X方向上的位移PSD響應(yīng)的對(duì)比，圖7～圖8為兩點(diǎn)的X方向位移分量RMS對(duì)比和Mises應(yīng)力的RMS對(duì)比。

3結(jié)論

經(jīng)過(guò)對(duì)比分析Abaqus自帶隨機(jī)響應(yīng)求解器計(jì)算結(jié)果和本文方法的結(jié)果，得出以下結(jié)論：

1）工程上常用各分量的RMS值進(jìn)行評(píng)價(jià)。經(jīng)過(guò)對(duì)比兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的Mises應(yīng)力的RMS值，以及X方向位移分量的RMS值，可以發(fā)現(xiàn)誤差很小，本文方法可信。

2）從圖2～圖10的對(duì)比圖可以看出，在響應(yīng)的各峰值附近，兩種方法結(jié)果的差異非常的小，但是峰值外的地方差別相對(duì)較大。一個(gè)原因是因?yàn)楸疚膶?duì)比圖中采用了對(duì)數(shù)坐標(biāo)，從圖中可以看出差異大的地方數(shù)量級(jí)非常小。基本可以忽略；另一個(gè)原因是，本文方法在處理數(shù)據(jù)時(shí)采用的線(xiàn)性插值，而Abaqus自帶求解器則采用的對(duì)數(shù)插值。

3）在Abaqus中的隨機(jī)響應(yīng)分析步無(wú)法設(shè)置材料阻尼，只能使用模態(tài)阻尼，而本文方法使用的是直接法進(jìn)行諧響應(yīng)分析，因此可以直接設(shè)置材料的阻尼。

[責(zé)任編輯：楊玉潔]