高中數學函數絕對值不等式的解題策略研究

劉玲

高中是數學學習的關鍵時期，在這個階段，開闊學生對于一些難點問題的解題思路是刻不容緩的。一旦開闊了數學的解題思路，就可以由老師在黑板上枯燥的講解，變成學生自主的研究學習數學，讓學生充滿了對于學習這門學科的興趣，能有效影響學生的學習態度。學生真正掌握到了學習方法，真正的獲得了知識，也就能形成善于發現問題、提出問題、努力解決問題，最后加以總結的學習方法與能力。本文主要圍繞函數絕對值不等式的解題策略進行研究，主要以不等式|x|<1的解法為例，此外還選取了一些經典問題和解法，作為典型案例進行研究，并提出了幾種關于解絕對值不等式函數的常用思路，希望能幫助高中生快速學習并熟練掌握絕對值不等式。

一、兩邊同時平方來解題

兩邊同時平方，從而去掉絕對值符號可說是解決絕對值不等式的最簡便的方法。如在解答不等式|x|<1時，可以對不等式兩邊同時平方，得x2<1，即x2-1<0，得出（x+1）（x-1）<0，最后的結果就為-1

又比如在解不等式|x-9|<|x-1|時，因為不等式的兩邊都是單一的絕對值，都大于等于0，所以可以對不等式的兩邊同時進行平方。

得到|x-9|<|x-1|→（x-9）2<（x-1）2，兩邊求解，解得x>5。

二、運用絕對值的幾何意義來解題

運用這種方法進行解題，首先就要明確絕對值幾何意義的定義。絕對值的幾何意義表示在數軸上數與數之間的距離。如：|b-a|表示數軸上數b到數a的距離，當a為0時，|b-a|=|b-0|。這個式子就表示數b到原點的距離，這就是它的幾何意義。了解了這個之后，你的腦海中要浮現出象征絕對值幾何意義的圖形，使要解決的問題從生硬的文字變為直觀的圖像，這樣解決問題能夠更為簡單化。要解不等式|x|<1，就要了解它的解集就等于到原點的距離小于1的點的集合，這樣就能輕松的得出答案：不等式|x|<1的解集為{x|-1

以求關于x的不等式|x-1|≤5的解集為例，可以結合絕對值不等式的定義，先去掉絕對值符號，化成一般的不等式，再進行求解。

得到|x-1|≤5→-5≤x-1≤5，最終求出原不等式的解集為{x|-4≤x≤6}。

三、運用函數圖象來解題

可以說，絕對值函數的圖象是研究絕對值函數問題的基礎。只要掌握絕對值函數的圖像和性質，在解題時可以達到事半功倍的效果。因此，可以運用數形結合法思分析和解決問題。其中，有幾點要特別注意。第一，要弄清絕對值不等式的概念以及它在運算時會運用到的幾何意義，對題目中所給的條件和結論進行仔細的分析。接下來，根據題目畫出對應的圖形，設置恰當的參數，使解題更為輕松。最后，經過仔細思考，正確設定參數的取值范圍，完成解答。以不等式|x|<1的解法為例，可以這樣進行思考：不等式|x|<1的解集可以表示成函數y=|x|的圖象在函數y=1的圖象下方所對應的x的取值。所以，不等式|x|<1的解集為{x|-1

四、運用分類討論來解題

分類討論，即利用定義去掉絕對值的符號。分類討論之后，問題更加明晰，富有條理，也就更易于解答了。絕對值函數問題，無疑是分類討論方法的一項重要運用。將數學問題中的對象分為不同種類，接著對劃分出的每一類分別進行研究和解答，達到“化整為零，化難為易，各個擊破”的效果。當然，這也要求同學們具有一定的分類思考能力，富有創新和探究意識，能夠從綜合的方面來看待問題。在解答不等式|x|<1時，就可以運用分類討論的思想，當x≥0時，原不等式可化為x<1，得出0≤x<1，而當x<0時，原不等式可化為-x<1，即x>-1，得出-15為例，它含有多個絕對值，這時可以采用零點分段的分類討論法進行解答，對自變量進行分類。令x2-4=0，x+3=0解得零點分別為-3，-2 ，2。

第一種情況是：

第二種情況是：

第三種情況是：

第四種情況是：

綜上得出：x<-3或-12。

所以不等式的解集為{x| x<-3或-12}。

要解決絕對值不等式函數的問題，可以運用多種方法來進行解答。解題的方法決不只局限于上文所提到的四種，還存在著其他優秀的解題方法。不僅要根據題型善于運用正確的解題方法，以免事倍功半，還要善于運用自己習慣的方法，這樣解題會來的更為順手。當然，即使不擅長，也不能留有死角——不會的解題方法，要做到無懈可擊。做到以上幾點，相信在函數絕對值不等式的解題方面可以得到新的思路。

（作者單位：湖北省襄陽東風中學）