高中數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系命題的一種變式研究

朱云霞

[摘 要] 考試評(píng)價(jià)是了解學(xué)生學(xué)習(xí)效果的重要手段，要進(jìn)行考試就必須研究命題，而命題形式的創(chuàng)新一直是評(píng)價(jià)研究的難點(diǎn). 高中數(shù)學(xué)中邏輯關(guān)系知識(shí)點(diǎn)命題常見(jiàn)形式是進(jìn)行充分條件、必要條件、充要條件的判斷，這種命題形式在高考數(shù)學(xué)命題中經(jīng)常出現(xiàn). 邏輯關(guān)系命題的變式，突破了常規(guī)的形式，有助于實(shí)現(xiàn)測(cè)評(píng)激勵(lì)和導(dǎo)向功能，反映了學(xué)生思維的過(guò)程，能幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)的基本經(jīng)驗(yàn).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)；邏輯關(guān)系；命題形式；變式研究

問(wèn)題的提出

考試評(píng)價(jià)是了解學(xué)生學(xué)習(xí)效果的重要手段，有著導(dǎo)向、激勵(lì)、反饋和調(diào)控等多方面的功能. 要進(jìn)行考試評(píng)價(jià)就必須研究命題，而命題形式的創(chuàng)新一直是評(píng)價(jià)研究的難點(diǎn). 數(shù)學(xué)課程從“雙基”到“四基”的變化，要求命題必須反映這種變化.但受標(biāo)準(zhǔn)化命題思維習(xí)慣的影響，無(wú)論是中考題、高考題還是平時(shí)的單元測(cè)試題，題型無(wú)外乎選擇題、填空題、計(jì)算題、應(yīng)用題等，總給人一種一成不變、單一呆板的感覺(jué). 高考題的命題立意，并未跟上課程改革的要求，仍然是知識(shí)立意，并未轉(zhuǎn)向能力和素質(zhì)要求. 如果要問(wèn)一個(gè)高三學(xué)生數(shù)學(xué)高考題的形式，他一定會(huì)回告訴你：一般來(lái)說(shuō)試卷有22個(gè)題，其中選擇題12個(gè)，填空題3個(gè)，后面的大題第1題通常是解三角形，第2題是立體幾何，第三題是概率統(tǒng)計(jì)……學(xué)生如數(shù)家珍.這一方面說(shuō)明學(xué)生對(duì)高考題型了然于胸，研究透徹，另一方面也說(shuō)明容易受命題的影響，養(yǎng)成思維定式. 因此，研究命題的新的形式，對(duì)學(xué)生而言有著重要的意義.

充分性判斷命題的常見(jiàn)形式

邏輯推理是數(shù)字的重要特點(diǎn). 數(shù)學(xué)中的邏輯推理是從一個(gè)真的前提，即是從事實(shí)、定義、公理、定理、判斷出發(fā)必然地推出一些符合實(shí)際的、科學(xué)的結(jié)論. 數(shù)學(xué)邏輯連接詞是邏輯推理的基礎(chǔ)，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要知識(shí)點(diǎn). 在編制該知識(shí)點(diǎn)測(cè)試題時(shí)，一般而言要求進(jìn)行條件判定，通常有三種形式：充分條件、必要條件、充要條件的判斷，我們都稱為充分性判斷. 對(duì)于兩個(gè)數(shù)學(xué)命題p，q，若由條件p成立，可以推出q成立，即p？圯q為真命題，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若p既是q的充分條件，又是q的必要條件，即p？圳q為真，則稱p是q的充要條件，同理q也是p的充要條件.

充分性判斷這種命題形式，在數(shù)學(xué)高考試題中經(jīng)常出現(xiàn).例如，2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）選擇題目第5題就是關(guān)于條件的判斷，該題為：設(shè){an}是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q<0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n-1+a2n<0”的什么條件？其備選答案有：

A. 充要條件

B. 充分而不必要條件

C. 必要而不充分條件

D. 既不充分也不必要條件.

對(duì)于該題，因a2n-1+a2n<0？圳a1（q2n-2+q2n-1）<0？圳q2（n-1）（q+1）<0？圳q<-1，所以答案C是正確答案.

2016年四川省高考理科數(shù)學(xué)試題第7題也是邏輯關(guān)系判斷題目，該題是這樣敘述的：

設(shè)p：實(shí)數(shù)x，y滿足（x-1）2+（y-1）2≤2，q：實(shí)數(shù)x，y滿足y≥x-1，y≥1-x，y≤1，則p是q的

（ ）

A. 必要不充分條件

B. 充分不必要條件

C. 重要條件

D. 既不充分也不必要條件

高考具有“指揮棒”的作用，只要高考中出現(xiàn)的試題形式，就是平時(shí)練習(xí)的重點(diǎn). 因此，在平時(shí)練習(xí)和測(cè)試中，也經(jīng)常出現(xiàn)條件判斷類型的試題，并且常常以選擇題的形式出現(xiàn)，形成固定的形式，只是命題選擇的知識(shí)點(diǎn)不一樣.

充分性判斷命題的變式

管理類專業(yè)學(xué)位研究生入學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)試題的命題范圍都是中小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，其中一種題型被稱為條件充分性判斷，可以看成是充分性判斷的變式.該題型是給出題干，條件（1）和條件（2），要求學(xué)生判斷所給出的條件（1）、條件（2）能否充分支持題干中陳述的結(jié)論，并約定以下選擇：

A. 條件（1）充分，但條件（2）不充分；

B. 條件（2）充分，但條件（1）不充分；

C. 條件（1）和（2）單獨(dú)不充分，但條件（1）和（2）聯(lián)合起來(lái)充分；

D. 條件（1）充分，條件（2）也充分；

E. 條件（1）和（2）單獨(dú)不充分，條件（1）和（2）聯(lián)合起來(lái)也不充分.

為了對(duì)該變式有更直觀的理解，下面舉例說(shuō)明：

例1：x<3成立，

（1）x<2，（2）x-5<0.

解：由（1）x<2，可以得x<3成立；由（2）x-5<0，解得x<5，不一定能得到x<3，因此是條件（1）充分，條件（2）不充分，選擇A.

例2：x99+y99取得兩個(gè)不同的值，

（1）實(shí)數(shù)x，y滿足條件（x+y）99=-1，（2）實(shí)數(shù)x，y滿足條件（x-y）100=1.

分析：利用特殊值方法，由條件：實(shí)數(shù)x，y滿足條件（x+y）99=-1不能推出x99+y99可取兩個(gè)不同的值. 例如，取三組不同的值x=-1，y=0；x=-2，y=1；x=-3，y=2，此時(shí)x，y的取值滿足條件（x+y）99=-1，但x99+y99的值分別為-1，-299+1，-399+299. 即是說(shuō)，只有條件實(shí)數(shù)x，y滿足條件（x+y）99=-1，不能得到題干x99+y99取得兩個(gè)值的結(jié)論. 同理，取三組不同的值x=1，y=0；x=2，y=1；x=3，y=2，實(shí)數(shù)x，y滿足條件（x-y）100=1，但也不能推出x99+y99取兩個(gè)值.

如果把條件（1）和條件（2）聯(lián)合，此時(shí)條件變?yōu)椋簒+y=-1，x-y=1和x+y=-1，x-y=-1，兩個(gè)方程組的解分別為x=0，y=-1，x=-1，y=0，代入x99+y99得其值均為-1，因此，應(yīng)該選擇E.

在一次平時(shí)數(shù)學(xué)測(cè)試中，采用該變式形式命了一道選擇題. 首先如上述一樣給出要求和約定，然后呈現(xiàn)題目，并讓學(xué)生進(jìn)行選擇.該題如下：

題干：a，b是實(shí)數(shù)，滿足：a（a+b）>aa+b.？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

條件：（1）a<0，（2）b>-a.

題目引起學(xué)生的廣泛興趣，測(cè)評(píng)結(jié)束后學(xué)生普遍反映，該題形式新穎，知識(shí)點(diǎn)雖然簡(jiǎn)單，但卻不能確定自己的答案是否正確. 實(shí)際上，學(xué)生在回答這種類型的題時(shí)，必須根據(jù)信息重新命題，通常是3種情況的命題：

第1題：a，b是實(shí)數(shù)，若a<0，問(wèn)a（a+b）>aa+b是否成立？？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

第2題：a，b是實(shí)數(shù)，若b>-a，問(wèn)a（a+b）>aa+b是否成立？

第3題：a，b是實(shí)數(shù)，若a<0，b>-a，問(wèn)a（a+b）>aa+b是否成立？

題目答題的過(guò)程反映了學(xué)生思維的過(guò)程，能幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基本知識(shí)，積累數(shù)學(xué)基本經(jīng)驗(yàn)，命題符合課程改革的要求，也符號(hào)學(xué)生實(shí)際. 數(shù)學(xué)是思維的學(xué)科，在數(shù)學(xué)教學(xué)和平時(shí)測(cè)試中，讓題型豐富多彩，能使學(xué)生感到既有趣又輕松，從而實(shí)現(xiàn)考試評(píng)價(jià)激勵(lì)和導(dǎo)向的功能. 在高考命題時(shí)，也不妨試一試這種形式的命題.