雞兔同籠問題各種解法的聯系

摘 要：雞兔同籠是數學界經典問題，以解法策略的多樣性凸顯其魅力，有算術的巧算法和代數的方程方法，本文列舉解決雞兔同籠的解法，分析解題策略，探索各種方法之間內在聯系。

關鍵詞：雞兔同籠；解法

雞兔同籠是中國古代的數學名題之一。大約在1500年前，《孫子算經》中就記載了這個有趣的問題。書中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有35個頭，從下面數，有94只腳。問籠中各有幾只雞和兔？

日本有“龜鶴算題”，例如：“龜鶴合計共10只，共有28條腿，問龜鶴各有多少只？”就是從中國古代的“雞兔同籠”問題演變來的。

仔細想想就知道，這是一種脫離生活實際的空想問題。因為雞和兔（或龜與鶴）是完全不同的動物，數總數時自然會知道會有幾只雞、幾只兔。由于它們的腳也長得完全不同，故在數總數時，知道其各自是多少也不會錯。因此，這個問題僅僅是作為一種智力測驗的問題。

“雞兔同籠”問題之所以成為數學名題，魅力在于解決問題策略的多樣性，體現思維的靈活性、創造性，從不同解法還可發現數學的發展（算術到代數），體會數學的解放感及力量感（張景中語）。

許多小學算術應用題都可以轉化成這類問題， 用解它的典型解法來求解。到中學的方程中也是典型問題，近幾年國家公務員考試對這類問題也有考查，因此學會它的解法和思路很重要。

本文列舉解決雞兔同籠的解法，分析解題策略，探索各種方法之間內在聯系。

解決方法一：列表窮舉法

原題數較大，根據化繁為簡的思想方法，可從簡單的問題入手，先研究“有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有10個頭，從下面數，有28只腳。問籠中各有幾只雞和兔？

從這張表可以看出，腳的總數為28時，有6只雞，4只兔，即為答案。

當然，在具體列表解決時，只用列到第5行，腳總數與題吻合。

這是一種原始的、一步一步糾正錯誤的方法，用試探錯誤的方法解決。思維含量較低，適合低年級兒童。目前，雞兔同籠問題已進入小學四年級教材，解決時，就是用列表運用嘗試的辦法探索規律，得出結果，使學生感受這是數學探索的一種有效途徑。

但若數字較大的話，要畫這張表就太費事了。例如原題（35頭，94足），這張表要列到35行，工作量很大！效率低。因此，應當尋求更好的解決方法。

解決方法二：假設法

觀察表中所列腳總數可知，它是每次2只遞增的。這是因為每次是以4只腳的兔來替換2只腳的雞的緣故。10只雞、0只兔時有20只腳，由此要變成28只腳就必須增加8只腳。據此8÷2=4， 應將4只雞轉換成兔。我們可將這種思考方法稱為假設法。

假設法————假設都是雞

（1）如果籠子里都是雞，那么就有10×2=20只腳。

（2）多出 28—20=8。

（3）一只兔比一只雞多2只腳，也就是有8÷（4—2）=4只兔。

（4）所以籠子里有6只雞、4只兔。

用此方法，即使數字較大，也不難解了。

比如回到原題（35頭，94足），如果籠子里都是雞，說的生動些，不防可以假設先讓兔子都抬起2只腳，那么現在就有35×2=70只腳，現在的腳數和原來差94-70=24只腳，這些都是每只兔子抬起2只腳，一共抬起24只腳，用24÷2得到兔子有12只，用35-12得到雞有23只。

兔子站起——想得活！

假設法————假設都是兔

把每只雞的兩個翅膀也當作腳，那么每只雞就有4只腳，與兔的腳數相同，則雞兔共有腳35×4=140只，多了140-94=46只腳，這就是雞的翅膀數，所以雞有46÷2=23只，兔有35-23=12只。

把雞翅膀當作腳——想得妙！

假設法————抬腳法1

假如讓雞抬起一只腳，兔子抬起2只腳，還有94÷2=47（只）腳。籠子里的兔就比雞的腳數多1倍，這時，腳與頭的總數之差47-35=12，就是兔子的只數。

金雞獨立，兔子站起——想得巧！

假設法————抬腳法2

假如雞與兔子都抬起兩只腳，還剩下94-35×2=24只腳 ， 這時 地上只有兔子的腳，而且每只兔子有兩只腳在地上，所以有24÷2=12只兔子，就有35-12=23只雞。

讓雞飛起來，兔子站起——想得絕！

不管怎么說，從前的這種雞兔同籠仍屬一種較困難的計算題。

解決方法三：代數方程法

然而這種從前雞兔同籠難題，隨著數學的發展，若用代數方程這種新式武器來解決，就方便多了。用代數方程既可以用一元一次方程也可以用二元一次方程組解決。

一元一次方程

解：設兔有x只，則雞有（35-x）只。

4x+2（35-x）=94

4x+70-2x=94

（4-2）x=94

2x=94-70

2x=24

x=24÷2

x=12

35-12=23（只）

由上可見，這里出現的94-70與之前假設法相同，把它用4-2來除也與之前相同，而 35×2的出現是理所當然的，這不就是假設先讓兔子都抬起2只腳后， 現在就有的35×2=70只腳嗎？

或 解：設雞有x只，則兔有（35-x）只。

2x+4（35-x）=94

2x+140-4x=94

2x=46

x=23

35-23=12（只）

答：兔子有12只，雞有23只。

二元一次方程組

解：設兔有x只，雞有y只。

x+y=35 ①

4x+2y=94 ②

解二元一次方程組有代入法、加減法，以下列出各種解法，再看看與之前解法的聯系。

代入法：

由①得：y=35-x ③

把③代入 ② 得：4x+2（35-x）=94

4x+70-2x=94

（4-2）x=94

2x=94-70

2x=24

x=24÷2

x=12

35-12=23（只）

答：兔子有12只，雞有23只。

可看出此種解法消元后與一元一次方程解法一致。

加減法

法1： ①×4得：4x+4y=35×4=140 ③【假設都是兔，則雞兔共有腳35×4=140只】

③- ② 4y-2y=140-94【多了140-94=46只腳，這就是雞的翅膀數】

2y=46

Y=46÷2

Y=23

把Y=23 代入① 得：x=12

∴ x=12 Y=23

可看出這就是巧算法中的“把雞翅膀當作腳”法

法2：①×2得：2x+2y=35×2=70 ③

②- ③ 4x-2x=94-70【假如雞與兔子都抬起兩只腳，還剩下94-35×2=24只腳】

2x=24

x=24÷2 【每只兔子有兩只腳在地上，所以有24÷2=12只兔子】

x=12

代回①得：Y=23

可看出這就是巧算法中的“讓雞飛起來，兔子站起”法。

法2：①×2得：2x+2y=35×2=70 ③【 先讓兔子都抬起2只腳， 現在就有35×2=70只腳】

②- ③ 4x-2x=94-70【現在的腳數和原來差94-70=24只腳， 兔子一共抬起24只腳 】

2x=24

x=24÷2 【每只兔子抬起2只腳，用24÷2得到兔子有12只】

x=12

代回①得：Y=23

可看出這就是巧算法中的“兔子站起”法。

法3： ②÷2 得：2x+y=94÷2=47 ③ 【雞抬起一只腳，兔子抬起2只腳，還有94÷2=47（只）】

③ - ①得：2x- x=47-35 【腳與頭的總數之差47-35=12，就是兔子的只數】

x=12

代回①得：Y=23

可看出這就是巧算法中的“金雞獨立”法。

綜上所述，雞兔同籠問題解決的方法很多，從列舉、算術巧算到代數方法，這些不同的方法策略所展現的魅力，正是這個問題流傳到國外、從古流傳至今，成為經典的原因！各種巧妙方法，令古今中外數學家贊嘆不已。這種思維方法叫化歸法。化歸法就是在解決問題時，先不對問題采取直接的分析，而是將題中的條件或問題進行變形，使之轉化，直到最終把它歸成某個已經解決的問題。數學是思維的科學，數學教學是思維的教學——數學對于發展學生的思維是至關重要的，問題是數學的心臟，雞兔同籠問題是一經典！

同時，通過本文對各種方法的比較，我們發現列舉、算術巧算到代數方法各種方法并不是獨立不相關的，其實只是呈現表述方式不同，本質是一樣的。正如萊布尼茨所說，是“換個方式來考慮的”。每種做法都是一種創新，創新人才的培養，應該是核心素養研究和培養的根本目的。

參考文獻：

[1]《數學》四年級下（人民教育出版社）.

[2]《數學》七年級上（人民教育出版社）.

[3]《數學與生活》（ 日本）遠山啟 （人民郵電出版社）.

[4]《數學課程標準》（北京師范大學出版社）.

作者簡介：和文濤（1969-2），男，中央民族大學畢業，云南大學附屬中學教師，高級教師，數學教研組長，2010年國培計劃培訓團隊研修項目華師大初中數學班結業，云南省名師講學團成員，曾榮獲昆明市優秀園丁，一直從事初中數學教學研究。