大學《實變函數》課程教學體會與方法探索

尹秀霞+陳自力

（南昌大學理學院數學系，江西 南昌 330031）

摘要：實變函數論是高等院校數學專業的一門基礎專業課。對該課程教學中遇到的各種問題，本文從大量的教學實踐中有針對性地提出幾條切實可行的教學方法。這些方法能有效地激發學生的好奇心，提升學生的自信心以及提高學生的數學素養。

關鍵詞：實變函數；Lebesgue積分；研究型教學

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）21-0205-02

一、引言

《實變函數》課程是高等院校數學系本科極其重要的專業基礎課，主要講述的是本世紀初建立的Lebesgue測度與積分，學生普遍覺得這門課晦澀難懂。作為實分析的主體部分，實變函數在數學的許多領域中，如測度論、分形幾何、泛函分析、調和分析、偏微分方程中都產生了極大的影響，可以說是它們共同的基礎。然而《實變函數》課程因其自身的特點，如課程展開的方式需要經過漫長的準備、集合論與分析相結合的處理方法、所討論的函數類范圍的擴大以及習題量大而且難做等，都使得學生認為其深奧晦澀、枯燥無味。學習不到一個月，不少學生便對這門課程喪失了信心，更談不上興趣；后期的學習情況更糟，甚至對一些基本概念的理解都出現困難。為了更好地實施教學，筆者查閱相關文獻資料，從實變函數教學中的點滴體會出發，就《實變函數》這門課程的教學方法進行初步探討。

二、注重鮮活的人物和故事的介紹

興趣是最好的老師，如果在教學的過程中能穿插一些與教學內容相關并且非常有趣的故事，不僅能極大地提高學生的學習興趣，而且還有助于培養學生的創新思維能力。

在實變函數的第一節課中，我是通過闡述1926年Lebesgue本人在哥本哈根的演講中的形象比喻來介紹Lebesgue積分與Riemann積分的區別的。這個比喻是這樣的：“按照Riemann的方法，我們對依自變量x的大小順序所提供的不可分割的量求和，這有如沒有條理的商人數錢，碰到硬幣數硬幣，碰到紙幣數紙幣。而我們的做法像有條理的商人，把相同面值的紙幣、硬幣放在一起，然后再分別計數之后相加，這就是我的積分。”這樣一來，即使學生并不知道Lebesgue積分的精確定義，對Lebesgue積分的種種好處也無從得知，但他們至少會記住這個形象的比喻，而這其實就是Lebesgue積分建立所蘊含的基本思想。理解這種思想對以后深入地學習有著事半功倍的作用。而另一個例子的效果更大，通過它學生可以徹底理解無窮大與有限數的區別。這個例子是著名德國數學家Hilbert在討論無窮大的演講中的一個小故事：有一家旅館，內設有限個房間，而所有的房間都已客滿。這時來了位新客人，店主人說：“對不起，所有的房間都住滿了。”有另一家旅店，內設無限多個房間，所有房間也都客滿了。這時也有一位新客來臨，想訂個房間。這時店主人說（留些時間讓學生考慮）：“不成問題！”只見他把一號房間里的旅客移到二號房間，二號房間的旅客移到三號房間，三號房間的旅客移到四號房間，等等，這一來，新客人就住進了已被騰空的一號房間。第二天，這個無窮多個房間的旅店各個房間也都住滿了。這時來了無窮多位要求訂房間的客人。店主人（留些時間讓學生考慮）仍然成竹在胸，不緊不慢地說：“好的，先生們，請等一會兒。”他把一號房間的旅客移到二號房間，二號房間的旅客移到四號房間，三號房間的旅客移到六號房間，如此類推。現在所有的單號房間都騰出來了，新來的無窮多位客人又可以住進去了。

三、積極采用具有啟發性而不嚴格的表述和證明

《實變函數》帶有大量嚴謹、枯燥的證明。在介紹無最大基數的定理時，我舉了一個“理發師的悖論”來代替這個抽象的證明。說的是一位鄉村理發師聲稱他的工作是給本鎮上所有不給自己刮臉的人刮臉；同時，他絕不給那些給自己刮臉的人刮臉。忽然有天早上他想：“我該不該給自己刮臉呢？”（留些時間讓學生考慮）因為如果他給自己刮臉，則據他聲稱的前一半，他不應給自己刮臉；但如果他不給自己刮臉，則據他聲稱的后一半，他又應給自己刮。于是理發師陷入矛盾之中，學生不僅被這個故事引得哄堂大笑，還從中領會了“矛盾律”的深刻內涵，效果遠遠超出對這個定理的抽象證明。又如在總結Lebesgue測度和積分理論的時候，我引入了如下并不嚴格但極具啟發性的Littlewood三原理：①每個可測集“基本上”是區間的并；②每個函數“基本上”是連續的；③逐點收斂的函數列“基本上”是一致收斂的。這三條中都有一個很模糊的詞語“基本上”，它的不確定性以及每一條含義的多樣性正是Littlewood三原理的妙用。譬如從第二原理出發，就有若干不同的理解。可以理解成Lusin定理：任何可測函數在去掉一個測度充分小的集合之后是連續的。也可以理解成任何可測函數可以表示成連續函數逐點收斂的極限。或者理解為任何絕對可積函數與某個連續函數的差的積分可以任意小。接著從這樣的思想出發，我又引導同學們建立了類似的容易感知但不嚴格的表述。整整一節課，同學們充分討論了關于它們的各種各樣的理解，囊括了《實變函數》這門課中幾乎所有重要的知識點。既加深了對已學過知識的理解，又對這門課有了一個較為完整的認識。

四、合理運用研究型教學

不同于傳統的教學模式，研究型教學是師生共同建立的將教學的重心逐步由獲取知識轉移到激發學生的好奇心、求知欲與學習興趣、培養學生的探索精神、創造思維與創新能力。比如上完控制收斂定理之后，我問大家：“請大家回顧一下控制收斂定理的證明，分析一下控制函數在證明中發揮了什么作用？這個控制函數是不是必須的？”時間在悄無聲息中流淌了二十分鐘，總算有個同學自告奮勇上來給出了證明。當我要求同學們針對這個證明進行分析從而尋找控制函數在證明中發揮了什么作用時，全堂茫然。于是我進一步引導：控制收斂定理證明的基本思路是將積分域分解成兩個部分，在測度較大的集合上，函數序列一致收斂（葉果洛夫定理保證），在這個子集上，積分與極限自然可以交換順序。在測度充分小的集合上，函數序列的積分被控制函數的積分所控制，此時，函數序列的積分值會不會隨著n的變化產生大的變化？這個時候學生才知道，由控制函數積分的絕對連續性可以看出函數序列積分的絕對連續性具有一致性，終于明白只要函數序列積分的絕對連續性是一致的，不一定需要一個可積的控制函數，于是發現了一個新的概念：“積分等度絕對連續函數簇”。在這個分析過程中只有少數學生能夠參與，大多數學生仍然一頭霧水。接著，將控制函數用函數序列積分的等度絕對連續性取而代之，但暫且加上極限函數的可積性從而分解難度。由于有Lebesgue控制收斂定理的證明在先，完成這個證明并不困難。最后，有學生問道：極限函數為什么是可積的。我對這位勇于思考的學生大加表揚了一番，然后引導大家仔細思考“極限函數的絕對可積性”，因為Lebesgue可積等價于絕對可積。時間又過去了十來分鐘，終于有學生小聲的說，“是不是要用Fadou引理？”我趕緊鼓勵他把想法在黑板上寫下來，最后歸結到證明函數列的積分一致有界。因此，我問了最后一個問題：“（測度有限的集合上）積分等度絕對連續的函數序列，它們的積分有共同的上界嗎？”大家再一次回顧了積分等度絕對連續的概念，終于在共同的討論中圓滿的解決了這個問題。

研究型教學帶來的效果是講授型課堂教學無法比的，但該教學方法很難可持續。以上面Vitali定理為例，如果是老師啟發式引導為主，最多一節課就可以完成概念的建立與所有的證明，而按照研究型教學方式展開教學，至少需要兩節課。少量的合適的課題、恰當的時機在研究型教學中是必不可少的。

五、結束語

本文總結了實變函數教學中的一些做法與體會。些做法并不完善，有很多需要注意的問題，并且在教學實踐過程中，還會不斷有新問題出現，需要根據實際情況調整教學方法。

參考文獻：

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[2]宋文，胡艷紅.在實變函數教學中滲透數學思想史的體會[J].繼續教育研究，2012，（5）：158-160.

[3]熊文俊.淺析高等數學的教學模式改革[J].教育教學論壇，2016，（27）：104-105.

收稿日期：2016-11-07

基金項目：國家自然科學基金No.11601217和No.11426129；江西省自然科學基金No.20151BAB211007

作者簡介：陳自力（1985-），男，湖南常德人，講師，學位：博士，主要從事玻爾茲曼方程經典解的存在唯一性研究。