高中物理教學中的微積分

丁丹華　邱國民

摘 要 微元法是高中物理教學中經常用到的一種方法，因此，教師在物理學科教學中滲透微積分的思想，有助于學生理解高中物理的很多知識，它能大幅提高學生的科學素養，更好地把握物理的本源。

關鍵詞 高中物理 微積分 科學素養

微積分是現代物理的基石，自牛頓和萊布尼茨以來，根據前人的經驗，總結出微積分的基本定理后，物理學有了長足的進步，一系列重大發現基本上都或多或少建立在微積分這塊基石上。微元法是高中物理教學中經常用到的一種方法，因此，很多優質高中將微積分作為選修課列入課程體系，供學習潛力較大的學生選擇，這既對學生更好地理解高中物理規律很有幫助，也對學生將來步入大學理工科打了基礎。

1問題引入：加速度、速度與位移間的關系

一般來說，中學生第一次接觸到微積分是在運動學的時候，老師會帶領學生仔細分辨v-t、a-t、s-t圖像的區別。如圖1-1，v-t圖象，對于一個速度在不斷變化的運動過程，會將這個過程肢解成無數多個勻速運動疊加的成果，在某個小dt內當作勻速運動，求出圖中所有小矩形的面積，也就是t=t0與t軸和圖象包圍的面積，作為位移。這是潛意識中第一次接觸積分時的景象。而將每個dt內變化的dv連成一個的函數，我們也就得到了斜率的微分意義。

所以，小小的速度片斷通過時間的積累便成了位移：ds=v€I6dt

同理：小小的加速度片斷也可由時間的積累便成了速度：dv=a€I6dt

因此便得出了最簡單且最偉大的運動學微分公式： =v和=a 。

它們在運動學上和諧統一，通過解微分方程，可以幾乎勝任一切涉及到牛二定律的問題。接下來，我們把它們進行推廣應用到研究物體運動的情景，通常將之視為理想情況，而實際上還有空氣阻力。

2更進一步：探索變力做功

微積分在物理中最偉大的貢獻是提供了優良的解題方法。

由以上的分析，對于變力做的功可以表示為

如圖2-1中，點電荷A（+q電量）位于r軸的原點O處，如有一個單位正電荷B從離O相距為a處移動到b處，求電場力做的功。

解析：取r為積分，在[a，b]區間內取一小區間：

[r，r+dr]，當單位電荷從r移動到r+dr時，電場力對它作功近似于dr

因此有dw=dr

兩邊積分

w=dr=kq（）

由此可見微積分在解決功能問題上是十分強有力的工具，值得仔細研究。

3 上善若水：由簡單流體壓強問題的拓展

有時候合理選取積分變量會有意想不到的效果。

如圖3-1，將一半球形的半徑為r的物體浸在水深為h的水中，求水對這個物體的總壓力。

如果以O為原點建立直角坐標系以x或y為積分變量就太麻煩了。我們尋求一種簡單易行的方法：以€%a作為積分變量。

因為是均勻半球體，所以水壓方向指向球心O，因此需要

分解到豎直方向

同樣的理論也可以推廣到電場中，如圖3-2，均勻帶電的電密度為€%l的半球體對球心處一帶+q電荷的力是多少？解法與上例類似，讀者可以自己試著推導（F=）。

通過上面幾則實例我們可以深切地體會到微積分的強大力量，“掌握數學工具解決物理問題的能力”是高考“考綱”重要要求之一。微積分是現代物理的基石，高中物理教材中涉及變量問題的處理思想都是建立在微積分這塊基石上，因此，高中物理教學滲透微積分思想很有必要。

參考文獻

[1] 沈晨.更高更妙的物理[M].浙江大學出版社，2012.

[2] 周大同.高中物理競賽輔導講義[M].浙江大學出版社，2013.