Banach空間含導數項的二階脈沖微分方程的解

尚亞亞, 史靜文, 李永祥

(西北師范大學 數學與統計學院, 甘肅 蘭州 730070)

Banach空間含導數項的二階脈沖微分方程的解

尚亞亞, 史靜文, 李永祥*

(西北師范大學 數學與統計學院, 甘肅 蘭州 730070)

討論了抽象空間中非線性項含一階導數的二階脈沖微分方程邊值問題

Banach空間; 非緊性測度; 凝聚映射; 不動點定理

本文考慮Banach空間中非線性項含一階導數的二階常微分方程兩點邊值問題(BVP)

(1)

解的存在性,其中J=[0,1],f∈C(J×E×E,E),Ik∈C(E×E,E)是脈沖函數,k=1,2,…,m,0

脈沖微分方程是描述在確定時刻其狀態發生瞬間改變的數學模型,具有廣泛的應用背景,如生物技術、生態平衡、人口控制及經濟發展等,成為近年來一個重要的研究領域[1-4].對于BVP(1)的特殊情形Ik=0,即邊值問題

當E=R時,文獻[5-6]應用錐上的不動點指數理論獲得了BVP(2)正解及多正解的存在性;文獻[7]對非線性項f(t,x,y)提出關于y的增長條件(Nagumo條件),運用上下解方法討論了其解的存在性;文獻[8]在錐上建立了一個新的泛函形式的不動點定理,在f滿足一定的增長條件下獲得了此問題至少存在3個正解.

在抽象空間中,文獻[9]考慮了‖f(t,x,y)‖≤M(M>0為常數)時BVP(2)解的存在性,條件較強.由于有限維與無限維空間的本質差異,BVP(2)對應的線性問題的解算子不再具有緊性,而且對u′的處理比較困難,因而此類問題的研究所獲結論相對較少,發展也較為緩慢.

文獻[4]在抽象Banach空間中運用上下解方法和單調迭代技巧研究了如下的二階脈沖微分方程邊值問題

解的存在性,并建立了極大解和極小解的存在性定理,但其非線性項與u′無關.

受上述文獻啟發,本文在一般的抽象空間中考慮BVP(1)解的存在性與唯一性.通過選取適當的工作空間及等價范數,在較一般的條件下用新的非緊性測度估計技巧并結合Sadovskii不動點定理,得到了解及正解的存在性結果.此外,在非線性項f(t,x,y)及脈沖函數Ik(x,y)滿足Lipschitz條件時,運用Banach不動點定理獲得了該問題的唯一解.

1 預備知識

PC1(J,E)=

易證,PC(J,E)與PC1(J,E)分別按范數

及

構成Banach空間.

若函數u∈PC1(J,E)∩C2(J′,E)滿足BVP(1)中所有等式,則稱其為BVP(1)的一個解.

為了方便起見,本文取PC1(J,E)的子空間

故

構成Banach空間.

引理 1[10]設D?E有界,則存在D的可列子集D0,使α(D)≤2α(D0).

引理 2[11]設D={xn}?L[J,E]有界可數,則存在g∈L[J,R+]使得對一切{xn}∈D,‖xn‖≤g(t),a.e.t∈J,則α(D(t))∈L[J,R+],且

引理 3[12]設B?PC(J,E)有界,在每個Jk上等度連續,則α(B(t))在J上連續,且

2) 對?t∈J,α(B(t))≤αPC(B′),αPC(B′(t))≤αPC(B′).

故由非緊性測度的定義易知

按非緊性測度的定義,2)成立.證畢.

由于非線性問題與線性問題密切相關,對?h∈PC(J,E),先考慮BVP(1)對應的線性問題(LBVP)

解的存在性,其中yk∈E,k=1,2,…,m.

(5)

的解,其中

繼續在[0,t]上積分有

(6)

代入邊界條件有

將(7)式代入(6)式中,即(5)式成立.

且容易驗證

因此

是LBVP(4)的解.證畢.

(8)

則Q連續.對上式關于t求導,即

(9)

引理 6 設E為Banach空間,f:J×E×E→E與Ik:E×E→E連續.若f≥θ,Ik≥θ,則BVP(1)的解u(t)滿足:u(t)≥θ.

證明 由于BVP(1)的解等價于算子Q的不動點,又因f≥θ,Ik≥θ,G(t,s)≥0,根據算子Q的表達式,顯然u(t)=Qu(t)≥0.

定理 1(Sadovskii不動點定理)[13]設X為Banach空間,Ω?X為有界凸閉集,Q:Ω→Ω為凝聚映射,則Q在Ω中有不動點.

2 主要結果及證明

定理 2 設E為Banach空間,f:J×E×E→E與Ik:E×E→E連續,若下列條件成立:

1)f把J×E×E中的有界集映為E中的有界集,Ik把E×E中的有界集映為E中的有界集,且存在常數L1,L2≥0及Mk1,Mk2≥0,使得對任意的有界集Di?E(i=1,2)有:

其中

2) 存在常數p0>0,p1,p2≥0,使得

3) 對每個Ik,存在常數ck>0及ak,bk≥0,使得

則BVP(1)至少有一個解.

(10)

再由引理1,存在可數集B1={un}?B,使得

(11)

而Q′(B1)為PC(J,E)中的等度連續集,因此

(12)

對?t∈J,結合條件1)、引理2及引理4,于是

因此

(13)

結合(10)～(13)式及引理4,則

這里

(14)

令

即

定理 3 設E為Banach空間,f:J×E×E→E及Ik:E×E→E連續且滿足條件:

5) 存在常數c1,c2>0及Nk1,Nk2>0,使得對?t∈J,x1,x2,y1,y2∈E有:

則BVP(1)存在唯一解.

那么

因此

定理 4 設E為Banach空間,f:J×E×E→E與Ik:E×E→E連續.若條件1)～4)成立且滿足f≥θ,Ik≥θ,則BVP(1)至少有一個正解.

證明 由定理2,1)～4)成立,即BVP(1)至少有一個解u0(t).又因f≥θ,Ik≥θ,由引理6,u0(t)≥θ,因此BVP(1)至少存在一個正解.

注 1 若BVP(1)中Ik(x,y)=0,即不含脈沖的情形,BVP(1)便退化為BVP(2),按照本文的論述方法可得類似結論,其結果在抽象空間也是新的.

注 2 工作空間及等價范數的選取對于研究的問題至關重要,不僅可以簡化計算,而且可以得出較好的結果.鑒于對u′處理的難度,部分非線性項含導數的邊值問題,可按本文的辦法進行相關研究.比如,可進一步討論問題

解的存在性,其中

為Fredholm積分算子,K(t,s)∈C(J×J,R+).

[1] LAKSHMIKANTHAM V, BAINOV D D, SIMEONOV P S. Theory of impulsive differential equations[J]. Aequationes Mathematicae,1989,6:288.

[2] GUO D J. A class of second-order impulsive integro differential equations on unbounded domain in a Banach space[J]. Appl Math Comput,2002,125:59-77.

[3] LIN X N, JIANG D Q. Multiple positive solutions of Dirichlet boundary value problems for second order impulsive differential equations[J]. J Math Anal Appl,2006,321:501-514.

[4] 范虹霞. Banach空間中二階脈沖微分方程邊值問題極解的存在性[J]. 蘭州交通大學學報,2012,31(3):154-157.

[5] 鄒玉梅,崔玉軍. 含有一階導數的二階邊值問題的正解[J]. 應用數學學報,2009,32(1):106-111.

[6] AGARWAL R P, O’REGAN D, YAN B Q. Multiple positive solutions of singular Dirichlet second-order boundary-value problems with derivative dependence[J]. J Dyn Control Sys,2009,15(1):1-26.

[7] HENDERSON J, THOMPSON H B. Existence of multiple solutions of second order boundary value problems[J]. J Diff Eqns,2000,166:443-454.

[8] BAI Z B, GE W G. Exsistence of three positive solutions for some second-order boundary value problems[J]. Comput Math Appl,2004,48:699-707.

[9] M?NCH H. Boundary value problems for nonlinear ordinary differential equations of second order in Banach spaces[J]. Nonlinear Anal,1980,4(5):985-999.

[10] 李永祥. 抽象半線性發展方程初值問題解的存在性[J]. 數學學報:中文版,2005,48(6):1089-1094.

[11] HEINZ H P. On the behaviour of measure of non-compactness with respect to differentiation and integration of vector-valued functions[J]. Nonlinear Anal,1983,7:1351-1371.

[12] GUO D J, LAKSHMIKANTHAM V, LIU X Z. Nonlinear Integral Equations in Abstrat[M]. Amsterdam:Kluwer Academic Publishers,1996.

[13] DEMILING K. Nonlinear Functional Analysis[M]. New York:Springer-Verlag,1985.

[14] LI Y X, JIANG X Y. Positive periodic solutions for second-order ordinary differential equations with derivative terms and singularity in nonlinearities[J]. J Funct Spaces Appl,2012,2012(19):4520-4562.

[15] 何志乾. 奇異二階Neumann邊值問題正解的存在性[J]. 四川師范大學學報(自然科學版),2015,38(2):190-193.

[16] 覃燕梅,羅衛華,孔花,等. 二階Fredholm積分微分方程的有限差分配置法[J]. 四川師范大學學報(自然科學版),2016,39(4):531-535.

2010 MSC:34B37

(編輯 余 毅)

The Solutions for Second Order Impulsive Differential Equations with Dependence on the Derivative Terms in Banach Spaces

SHANG Yaya, SHI Jingwen, LI Yongxiang

(CollegeofMathematicsandStatistics,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,Gansu)

In this paper, we consider the existence and uniqueness solutions for second order impulsive differential equations with dependence on the first order derivativein Banach spaces, where,f∈C(J×E×E,E),Ik∈C(E×E,E),k=1,2,…,m. By choosing proper working space and equivalent norm, while the nonlinear termf(t,x,y) andIk(x,y) satisfy more general non-compactness measure conditions, we obtain the existence results of solutions and positive solutions combining with the estimation skills of the non-compactness measure and the Sadovskii fixed-point theorem. Besides, we discuss the uniqueness of the solutions of this boundary value problem.

Banach space; non-compactness measure; condensing mapping; fixed-point theorem

2016-07-08

國家自然科學基金(11261053)和甘肅省自然科學基金(1208R-JZA129)

O

A

1001-8395(2017)01-0045-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.01.007

*通信作者簡介:李永祥(1963—),男,教授,主要從事非線性泛函分析的研究,Email:liyx@nwnu.edu.cn

解的存在性與唯一性,其中f∈C(J×E×E,E),Ik∈C(E×E,E),k=1,2,…,m.通過選取恰當的工作空間及等價范數,在非線性項f(t,x,y)及脈沖函數Ik滿足較一般的非緊性測度條件下,結合新的非緊性測度估計技巧與凝聚映射的Sadovskii不動點定理,得到解及正解的存在性結果.此外,進一步討論該問題唯一解的存在性.