具有季節性自然演替及脈沖擾動的單種群模型

李艷青, 張 龍, 劉 江

(新疆大學 數學與系統科學學院, 新疆 烏魯木齊 830046)

具有季節性自然演替及脈沖擾動的單種群模型

李艷青, 張 龍*, 劉 江

(新疆大學 數學與系統科學學院, 新疆 烏魯木齊 830046)

考慮一類具有季節性自然演替和周期性脈沖擾動的單種群模型,研究脈沖擾動對種群動力學行為的影響.通過建立頻閃映射,得到種群持久和滅絕的閾值條件,并結合有理差分方程理論證明系統有唯一穩定的正周期解,用Matlab軟件進行模擬并與連續系統作對比,數值模擬清晰地展示了脈沖擾動對季節性系統的影響.

季節演替; 脈沖; 持久; 滅絕; 周期解

0 引言

由于受自身或外部環境等因素的影響,種群的數量會有所波動,季節演替是造成這種波動的一個非常重要的因素,在一定程度上不僅會影響種群增長速度,而且還會影響內部結構[1-2].季節性變化對動力系統造成的影響受到了很多研究人員的關注[3-8].然而,到目前為止,在具有季節演替的種群模型中,分析性的結論卻很少.文獻[9]建立了模型

(1)

其中,m∈N,φ∈(0,1],r和K分別是種群x的內稟增長率和環境容納量;并用系統平衡點穩定的分析方法討論了系統(1)周期解的存在唯一性和全局穩定性.

系統(1)由2個連續模型組成,時間t∈[mω,mω+(1-φ)ω]時,種群生活在環境1中,此時它的增長規律滿足系統(1)的第一個方程;在t=mω+(1-φ)ω時,環境由1變成了2,此時,種群的增長規律滿足系統(1)的第二個方程.當t=(m+1)ω時,環境由2重新變成1,種群的增長規律也由此發生了變化,并依此進行循環.注意到種群在經歷環境變化時數量并沒有增加或減少.然而,在現實生活中,種群數量往往會受到自身和人類活動等很多外界因素的干擾,而這種擾動通常是瞬間完成的.隨著脈沖微分方程理論發展日益成熟[10],許多學者已將該理論運用到種群動力學及其應用科學領域[11-15].為了能夠充分考慮到瞬間變化對種群狀態的影響,本文用脈沖來刻畫這種擾動,由此建立下列具有季節性自然演替及脈沖擾動的單種群系統

(2)

1 預備知識

首先介紹有理遞歸序列

(3)

其中

(4)

顯然,x≡0是系統(2)的平凡ω-周期解.對于它的非平凡ω-周期解的存在性及其他性質,有下面的引理和定義.

定義 1 若存在正常數m和M,使得對任意初值x0>0,系統(2)的正解x(t)滿足

則系統(2)持久.

引理 1[16]若

(5)

(6)

其中

(7)

引理 2[16]假設(4)式成立,則下列敘述正確.

1) 若a=0且0

2) 若(5)式成立,則(3)式是持久的.

3) 若(5)式成立且滿足下列條件之一:

其次,討論系統(2)的正解x(t,x0).

(8)

顯然,系統(2)滿足初值x0>0的解x(t,x0)>0,t≥0.

2 主要結果

定理 1 假設d1d2p1p2>1(或≤1),則系統(2)持久(或滅絕),其中01.

證明 首先證明d1d2p1p2>1成立,系統(2)持久.由模型(2)中的脈沖時刻可得下列的頻閃映射:

(9)

(10)

(11)

另一方面,在系統(9)中易知

(12)

令

(13)

則

因此,φ是單增函數,若存在N,使得x1(N+1)≤x1N,n≥N,由φ(x1n)

又因為d1d2p1p2>1,更進一步有

(14)

對上式兩邊同時取下極限得

類似地,對于系統(9)有

(15)

記

(16)

則

因此,φ1單增,若存在N1,使得x1(N1+1)≤x1N1,n≥N1,用上述同樣的方法可得

而d1d2p1p2>1,則有

(17)

對上式兩邊同時取下極限得

綜上所述,令

記m=min{m1,m2},M=max{M1,M2},從而有

由持久性定義知系統(2)持久.

(18)

由此可得序列{x1n}、{x2n}非增.設γ1、γ2分別是{x1n}和{x2n}的極限,由極限的保號性知γi≥0,i=1,2.另一方面,對(12)和(15)式兩邊同時取極限有

因此,

這意味著系統(2)滅絕.定理1得證.

定理 2 若

(19)

則系統(2)有唯一正ω-周期解x*(t).

證明 顯然,x(t,x0)是ω-周期解當且僅當x(ω+,x0)=x0.定義周期映射S:R+→R+,

(20)

系統(2)有非平凡ω-周期解當且僅當S在R+上有不動點.由(20)式可知:

(21)

注意到Logistic方程的解x2(t,x2(0))可以表示成

(22)

則周期映射Sn+1(x0)可表示為

其中

b=d1d2e(rφ-λ(1-φ))ω,

(23)

結合(19)和(23)式可知b>1.由引理1可知S有唯一的不動點,且

定理 3 若(19)式成立,則系統(2)滿足初值x0>0的正解x(t,x0)有

證明 因為

這里

b=d1d2e(rφ-λ(1-φ))ω,

定理 4 若

則系統(2)的解x(t)滿足

證明 由(23)式可知

0

運用引理2知x=0全局吸引,即種群最終滅絕.定理4證畢.

3 數值模擬與討論

本文主要討論一類具有季節性自然演替及脈沖擾動的單種群模型.為了驗證結果的合理性并與連續系統作對比,選用下面的參數進行數值模擬:ω=5,φ=0.2,λ=0.3,r=1.21,且這些參數保持不變,僅僅調節脈沖值d1、d2,從以上參數的取值不難得到1.21*0.2>0.3*0.8,rφ>λ(1-φ).

首先,令d1=d2=1,此時系統(2)變成連續系統(1)[9],且參數滿足文獻[9]中定理的所有條件,從數值模擬中可以看到系統存在唯一全局漸近穩定的正周期解(見圖1(a)),即文獻[9]中的結論成立.

其次,令d1=0.8,d2=1.3,并由此可得d1d2>1,條件滿足定理2,數值模擬中顯示了系統(2)持久且有唯一全局漸近穩定的正ω-周期解x*(t)(見圖1(b)),這與理論結果一致.

若d1=0.1,d2=0.05(即種群在季節演替時由于人為捕獲或其他原因數量急劇減少),系統(2)中種群的數量最終趨于0,也就是,盡管rφ>λ(1-φ)成立,若種群在季節交替時數量急劇減少,且減少的程度遠遠超過自身的恢復調節能力,它仍然會滅絕(見圖1(c)),這一結果與實際生態系統中種群的變化規律更吻合.

下面選用另一組參數繼續討論脈沖擾動對種群動力行為的影響.設參數ω=5,φ=0.2,λ=1,r=0.02保持不變,d1、d2是變量,由上述參數可知

0.02*0.2<1*0.8.

采用上述類似的分析方法,首先令d1=d2=1,系統(2)變成連續系統(1),且滿足文獻[9]的關于滅絕的條件,如定理結果所述,當t→+∞時,種群滅絕(見圖2(d)).

其次令d1=0.5,d2=0.3,可知d1d2<1.由圖2可知定理3成立(見圖2(e)).

若d1=5.3,d2=1.3(即種群在季節轉換時由于人為投放或其他原因數量大幅度增加),在數值模擬中可以看到種群數量并沒有像想象中一樣無限制增長,反而會持久穩定(見圖2(f)),這更符合自然生態系統的平衡理論.

數值模擬(圖1和2)顯示了脈沖擾動對種群持續生存與滅絕的影響,這一結果對利用脈沖控制種群發展趨勢有重要的意義.綜上分析可知,具有脈沖擾動的季節演替模型的動力學行為更加豐富,更符合生態系統中種群發展的自然規律.

致謝 新疆高校科研項目(XJEDU2013I03)對本文給予了資助,謹致謝意.

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2010 MSC：46B20; 39B12

(編輯 鄭月蓉)

A Single Species Model with Seasonal Succession and Impulsive Perturbations

LI Yanqing, ZHANG Long, LIU Jiang

(CollegeofMathematicsandSystemScience,XinjiangUniversity,Urumqi830046,Xinjiang)

In this paper, we consider a class of single species with seasonal succession and impulsive perturbations and study the effects of pulse disturbance on population dynamics behaviors. By establishing the stroboscopic map, we get the threshold value for the permanence and extinction of population. Combining the theory of rational difference equation, we obtain that the system has a unique globally stable positive periodic solution. The numerical simulation is taken by using mathematical software-Matlab. It clearly shows the influence of pulse disturbance to the seasonal system. We compare these results with continuous system.

seasonal succession; impulsive; permanence; extinction; periodic solution

2016-06-27

國家自然科學基金(11361059和11271312)和新疆維吾爾自治區自然科學基金(2014721014)

O175.12

A

1001-8395(2017)01-0084-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.01.014

*通信作者簡介：張 龍(1977—),男,教授,主要從事常微分方程及應用、生物數學的研究,E-mail:longzhang_xj@sohu.com