包含廣義Fibonacci多項式的循環矩陣行列式的計算

師白娟

(西北大學 數學學院, 陜西 西安 710127)

包含廣義Fibonacci多項式的循環矩陣行列式的計算

師白娟

(西北大學 數學學院, 陜西 西安 710127)

主要研究包含廣義Fibonacci、Lucas多項式的行斜首加尾右循環矩陣和行斜尾加首左循環矩陣的行列式,利用多項式因式分解的逆變換給出行斜首加尾右循環矩陣和行斜尾加首左循環矩陣,包含廣義Fibonacci、Lucas多項式行列式的顯式表達式.

行斜首加尾右循環矩陣; 行斜尾加首左循環矩陣; 廣義Fibonacci多項式; 廣義Lucas多項式; 行列式

0 引言

循環矩陣是一類非常重要的特殊矩陣,在現代科技工程領域應用廣泛,比如分子震動、圖像處理、通信、信號處理、編碼、預處理等領域.文獻[1]為其研究奠定了深厚的基礎.近幾年內循環矩陣的探究已經延伸到很多方面,成為活躍的研究課題,廣泛應用于應用數學與計算數學的許多領域,如控制理論、最優化、求解(偏)微分方程、矩陣分解多目標決策、二次型化簡及平面幾何學,特別是在廣義循環碼方面[1-12].

循環矩陣類有許多特殊而良好的性質與結構,(右)循環矩陣、左循環矩陣、r循環矩陣、g-循環矩陣、Hessenberg矩陣、三對角矩陣、斜循環矩陣及一些特殊的f(x)-循環矩陣、行首加r尾r右循環矩陣(RFPrLrR)和行斜首加尾右循環矩陣,主要研究這些特殊矩陣的特征值、行列式、逆矩陣及范數,尤其是譜范數.文獻[13]研究廣義Fibonacci數列的循環矩陣的行列式;文獻[14]給出Fibonacci-Lucas的一類循環矩陣的行列式;文獻[15]給出包含Fibonacci數列的循環與斜循環矩陣的行列式;文獻[16]討論了包含Fibonacci數列和Lucas數列的循環矩陣的行列式;文獻[17]給出包含Fibonacci和Lucas數列的Toeplitz矩陣的范數.xn-x+1-循環矩陣被稱為RSFPLR循環矩陣,即行斜首加尾循環矩陣,比一般的f(x)-循環矩陣有更好的結構和性質,所以求解RSFPLR循環線性系統有更好的快速算法.

行斜首加尾循環矩陣不同于一般的循環矩陣,也不是行首加r尾r右循環的特殊形式,而是一類特殊的循環矩陣.本文的目的主要是運用多項式因式分解的逆變換研究包含廣義Fibonacci、Lucas多項式的關于行斜首加尾右循環矩陣和行斜尾加首左循環矩陣的行列式,結合廣義Fibonacci、Lucas多項式的特征給出行列式的顯式表達式.首先介紹行斜首加尾右循環矩陣和行斜尾加首左循環矩陣的定義和廣義Fibonacci、Lucas多項式的特征性質,然后給出主要的結果和詳細過程,最后呈現未研究的結果.

1 預備知識

定義 1.1 通常Fibonacci、Lucas多項式F(x)=Fn(x),L(x)=Ln(x),n=0,1,2,…,定義為二階線性遞推數列:

一種廣義Fibonacci多項式的通項公式為

廣義Lucas多項式的通項公式為

其中

已知

定義 1.2 一個第一行是(a1,a2,...,an)的行斜首加尾右循環矩陣(RSFPLR)為

A=RSFPLRCircfr(a1,a2,...,an)=

也就是說給定任意一行(a1,a2,…,an)作為矩陣的第一行,那么第二行就讓第一行的第一個元素加上第一行的最后一個元素,最后一個元素乘以-1,得到的序列所有元素向右移一位,即(-an,a1+an,…,an-2,an-1).任意一行滿足以下規則:對第i行的第一個元素加上第i行的最后一個元素;最后一個元素乘以-1;得到序列的所有元素向右移一位得到第i+1行.易知,行斜首加尾右循環矩陣(RSFPLR)是xn-x+1-循環矩陣[3],并且這類矩陣既不是斜循環矩陣的延伸也不是它的特殊情形,而是一種新的特殊矩陣.定義Θ(-1,1)作為基本行斜首加尾右循環矩陣:

A=RSFPLRCircfr(a1,a1,...,an)=

(1)

A是一個行斜首加尾右循環矩陣,當且僅當

對某一多項式f(x)有

定義 1.3 一個第一行是(a1,a2,...,an)的行斜尾加首左循環矩陣(RSLPFL)為

B=RSLPFLCircfr(a1,a2,...,an)=

給定任意一行(a1,a2,…,an-1,an)為矩陣的第一行,那么第二行用第一行的第一個元素乘以-1,第一行的最后一個元素加上第一行的第一個元素,得到的序列所有元素向左移一位,也就是(a2,a3,…,an+a1,-a1).任意一行滿足以下規則:對第i行元素的第一個先乘-1;第i行最后一個元素再加上第i行的第一個元素;所有元素向左移一位得到第i+1行.

引理 1.1 設A=RSFPLRCircfr(a1,a2,…,an),那么A的特征值是

此外

這里ωi,i=1,2,…,n是方程

(2)

的根.

證明 由定義1.2和方程(1)知道A是R行斜首加尾右循環矩陣,當且僅當A與Θ(-1,1)可交換,即

(3)

需證明以下2個特征:

(4)

其中ωi(1≤i≤n)是g(x)=xn-x+1的不同的n個根.

(5)

這里

得

2)由1)的結論可知A的特征值是

因此由矩陣A與它的特征值的關系可得

引理1.1得證.

引理 1.2

證明

因為ωi(i=1,2,…,n)滿足方程(2),則有:

證明 容易驗證.進一步有

2 主要結果及證明

定理 2.1 如果C=RSFPLRCircfr(F1,F2,…,Fn),那么

證明 矩陣C=RSFPLRCircfr(F1,F2,…,Fn)可表示為

C=

利用引理1.1,矩陣C為

由引理1.2得

同理可得推論2.1.

D=RSFPLRCircfr(Fn,Fn-1,…,F1)=

類似定理2.1的證明可得

定理 2.2 如果E=RSLPFLCircfr(F1,F2,…,Fn),那么可得

證明 矩陣E=RSLPFLCircfr(F1,F2,…,Fn)可以表示為:

并且

這里D=RSFPLRCircfr(Fn,Fn-1,…,F1),并且它的行列式由推論2.1可知:

因此

detE=detDdetΓ=

考慮廣義Lucas多項式Ln的關于行斜首加尾右循環矩陣和行斜尾加首左循環矩陣的行列式的解法.

定理 2.3 如果F=RSFPLRCircfr(L1,L2,…,Ln),那么可得

證明 矩陣F=RSFPLRCircfr(L1,L2,…,Ln)可以表示為

F=

利用引理1.1,F的行列式為

由引理1.2可得

定理2.3得證.同理可得矩陣

G=RSFPLRCircfr(Ln,Ln-1,…,L1),

G=

由定理2.3可得

定理 2.4 如果H=RSLPFLCircfr(L1,L2,…,Ln),那么可得

證明 矩陣H=RSLPFLCircfr(L1,L2,…,Ln)可表示為

H=

并且

這里G=RSFPLRCircfr(Ln,Ln-1,…,L1),它的行列式在定理2.3中可知,

如果H=RSLPFLCircfr(L1,L2,…,Ln),可得

3 結論

基于這些引理,可知關于行斜首減尾右循環的一些信息,即xn+x+1循環矩陣,同理求廣義Fibonacci多項式關于此類循環矩陣的行列式.本文只研究包含廣義Fibonacci多項式的行斜首加尾右循環矩陣的行列式.

對廣義的Fibonacci、Lucas多項式,當y=1時,可得原始的Finonacci、Lucas多項式;當x=y=1時,可得Fibonacci、Lucas數列;當y=1,x=2時,可得Pell數列.基于本文可以迅速得到Chebyshev多項式,(p,q)-Chebyshev多項式關于行斜首加尾右循環矩陣和行斜首減尾右循環的行列式.本文的理論適用于線性遞推數列和多項式,進而研究包含這些數列的循環矩陣的范數,這就證明了文中的所有結論.

4 例子

取x=y=1,n=3,設M=RSFPLRCirc(F1,F2,F3)是包含Fibonacci數列的3×3階行斜首加尾右循環矩陣

F1=1,F2=1,F3=2,detM=25,由定理2.1的公式可得detM=25.

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2010 MSC：15A18

(編輯 鄭月蓉)

Determinants of RSFPLR Circulant Matrices of the Generalized Fibonacci Polynomials

SHI Baijuan

(SchoolofMathematics,NorthwestUniversity,Xi’an710127,Shaanxi)

The main purpose of this paper is to use the inverse factorization of polynomial to give the determinants of RSFPLR circulant matrices and RSLPFL circulant matrices of the generalized Fibonacci polynomials, and the generalized Lucas polynomials. We give the explicit determinants.

generalized Fibonacci polynomials; generalized Lucas polynomials; RSFPLR circulant matrix; RSLPFL circulant matrix; determinant

2016-05-10

國家自然科學基金(11371291)

師白娟(1992—),女,碩士生,主要從事初等數論的研究,E-mail:593800425@qq.com

O177.91

A

1001-8395(2017)01-0022-07

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.01.004