基于GA和模糊小波神經網絡的磁軸承控制方法

彭 輝，曾 碧

(1.廣西工業職業技術學院,南寧530001;2.廣東工業大學,廣州510006)

0 引 言

磁軸承(以下簡稱MB)利用磁力作用將轉子懸浮于空中,使轉子與定子之間沒有機械接觸,因此具有更長的壽命、更低的摩損、較高的轉速以及無需潤滑等特性[1]。但由于MB中的轉子通過電磁力控制,當轉子負載變化或存在外部干擾時,會由平衡位置發生偏移[2]。所以,MB中需要精確地對轉子位置進行控制。

目前,對于MB轉子穩定性的控制,常用的有比例-積分-微分(以下簡稱PID)技術[3],根據位置傳感器檢測到的偏移量實現反饋控制。然而PID存在參數整定困難,無法處理隨時間變化的干擾[4]。為此,文獻[5]提出了一種PID與神經網絡(以下簡稱NN)相結合的控制方案(以下簡稱PIDNN),用來穩定全懸浮式五自由度MB轉子,通過神經網絡的自學習來調整最優PID參數。但其設定固定的學習率,在非線性系統中嚴重影響了學習性能。

在基于神經網絡的控制技術中,可將小波函數與NN相結合形成小波神經網絡(以下簡稱WNN)[6],其通過小波函數將信號分解到不同尺度上,然后利用時間序列和神經網絡進行預測,最后將信號重構成完整預測信號。WNN具有收斂速度快,能夠較好地解決非線性控制問題[7]。但是神經網絡拓撲結構的選擇缺乏理論分析,連接權重物理意義不明確。為此,學者引入模糊邏輯技術構建了模糊神經網絡(以下簡稱FNN)[8]。

本文將WNN與FNN相結合,形成一種模糊-小波神經網絡(以下簡稱F-WNN),并結合遺傳算法(以下簡稱GA)構建一種MB控制系統。本文方法的創新點在于:

(1)首次將小波神經網絡應用到MB控制系統中,并在MB建模過程中,融入了外部干擾,使其更貼近非線性現實場景。

(2)將WNN嵌入到FNN中,構建了一種適用于MB控制的模糊-小波神經網絡(以下簡稱FWNN),利用神經網絡的自學習能力和小波函數良好的局部特征來增強控制系統的自適應能力。

(3)利用GA算法對F-WNN學習過程中的學習率參數進行優化,提高神經網絡的學習效率。

1 MB系統的動態建模

典型MB結構中通常采用差動驅動模式(以下簡稱DDM)[9],如圖1所示。本文在DDM驅動模型中融入了提出的F-WNN控制器,用來控制驅動電壓輸出,以此穩定轉子位置。

圖1 MB結構和DDM驅動系統

MB結構中,推力盤固定在轉子上,用于Z軸上轉子位置的控制。此外,在DDM驅動系統中,左、右MB的偏置電流均被設置為最大允許電流的一半[10]。控制電流添加到電磁線圈中的偏置電流上,并從相反方向減去偏置電流。根據控制電流的動態調整,將轉子位置z穩定到基準位置zm。其額定空隙z0的偏差可由轉子位置z表示。此外,一個預先設計的偏置電壓v0同時用于2個磁軸承,從而在推盤兩側產生相同的引力。另外,控制電壓vz通過提出的F-WNN控制器獲得。通過放大器將電壓信號轉換成電流信號,總電流為偏置電流i0和來自功率放大器控制電流iz的組合,電流通過線圈產生電磁力。

利用牛頓定律,MB控制系統的動態模型可以描述:

式中:m為轉子質量;c為摩擦常數;Fz為電磁力,定義為Fz≡fz1-fz2,其中fz1和fz2分別為由右、左電磁鐵產生的電磁力;fdz為外部干擾。

非線性電磁力被建模表示:

式中:k為與電磁鐵鐵心材料相關的電磁常數。

2 提出的F-WNN控制器

上文已將MB系統構建成一個非線性動力學模型。由于該模型的確切參數是未知的,所以本文提出一個6層F-WNN控制器來控制MB系統軸向轉子的位置,使其對干擾具有魯棒性。在F-WNN中,在FNN中嵌入了WNN,每個模糊規則對應一個子小波神經網絡。不同分辨率級別的子網絡用于捕捉動態系統不同的行為。此外,利用FNN中的模糊規則來確定各個子網絡對F-WNN輸出的貢獻。與傳統FNN,WNN相比,F-WNN的逼近精度和泛化能力可通過小波和模糊集的參數學習大大提高。

本文具有F-WNN控制器的MB整體控制系統結構如圖2所示,主要分為2個部分:F-WNN控制器和MB電路。其中F-WNN控制器又分為2個部分:包含子WNN的F-WNN控制模塊和基于GA的參數自適應學習模塊。通過GA在線調整F-WNN的學習率,使其能夠通過自學習獲得最優F-WNN參數,進而準確地控制MB轉子位置。

圖2 具備F-WNN控制器的MB整體結構

2.1 F-WNN控制器

本文6層F-WNN結構如圖3所示,F-WNN結構中的內部子WNN結構如圖4所示。

圖3 所提出的6層F-WNN結構

圖4 內部子WNN的結構

所提出F-WNN的第k個模糊規則可表示:

規則k:IF x1是

式中:xi(i=1,2)為第i個輸入,為與第k個模糊規則相對應的第i個輸入的模糊集,l為模糊規則的數量。對于第k個子WNN,為隱藏層與輸出層之間的連接權重;為隱藏層第j個神經元的輸出;

^yk為輸出,其為小波的線性組合。圖3的F-WNN中,信號傳播過程如下:

層1(輸入層):該層中的節點只將輸入信號傳給下一層。在本文中,兩個輸入變量為跟蹤誤差x1(N)=e和推導的x2(N)=其中N表示迭代次數,位置誤差定義為e≡zm-z。

層2(模糊化層):在這一層中,采用高斯函數作為隸屬函數。對于第k個規則,有:

式中:和分別為與第k個模糊規則相關的第i個輸入變量高斯函數的平均值和標準差。

層3(規則層):對于第k個規則節點,它的輸出與其激活強度有關:

層4(規一化層):這一層中第k個節點,根據下面的方程計算第k個模糊規則的激活強度與所有模糊規則的總激活強度的比例:

層5(WNN層):將FNN的輸出作為WNN的輸入,每一條模糊規則對應一個小波網絡。在內部子WNN中,隱藏層的神經元自相連接,以此提高學習效率,如圖4所示。此外,將高斯函數g(x)=-x·exp[-(1/2)x2]的一階導數作為子WNN隱藏層的小波母函數。隱藏層中第j個小波神經元對應的第k個子WNN的輸入定義:

考慮到子WNN的輸出如式(3)所示,那么,這一層的輸出表示如下:

層6(輸出層):輸出節點作為一個解模糊器,表示如下:

式中:Y為F-WNN的輸出,作為MB控制系統的控制信號vz。

2.2 參數在線學習

本文基于監督學習算法對F-WNN的參數進行在線學習,以此獲得F-WNN的參數能量函數E定義:

通過應用能量函數E和梯度下降法,內部子WNN的參數可以通過以下公式得到:

式中:ηw,ηa和 ηb為學習率。推導式(12)～式(14)可得:

式中:δ=?E/?Y=(?E/?Z)(?Z/?Y)為一個誤差項。同樣,F-WNN的參數可以由以下式子得到:

式中:ηθ,ηm和 ησ為學習率。推導式(18)～式(20)可得到:

雖然學習算法中的誤差項δ可以使用反向傳播方法,以一個偏微分項來表示,但由于MB的動態不明性,致使不能準確得出δ中的靈敏度?Z/?Y。另外,?Z/?Y可以通過其符號函數來近似,但這會導致δ值的劇烈變化。為了克服這個問題,并提高FWNN的在線學習能力,誤差項δ可以使用基于比例-微分控制概念的增量自適應定律代替[11]。

2.3 基于GA優化學習率

在上節描述的在線學習過程中,涉及6個學習率參數。在傳統WNN或FNN中,通常設定為固定值。然而,較大的學習率會使學習過程出現振蕩,較小的學習率會降低收斂速度,且固定的學習率不能很好地適應非線性控制過程[12]。為此,本文通過GA算法來自適應調整F-WNN的學習率因子ηθ,ηw,ηa,ηb,ηm和 ησ,以此提高 F-WNN 的在線學習能力。下面對GA算法進行簡單介紹。

GA是一種模擬自然進化過程來尋找最優解的人工智能技術,包括以下主要步驟:染色體編碼及初始化;染色體解碼和適應度評估;交叉、突變、選擇過程[13]。其中需要指明3個必要的參數:交叉率、突變率和停止條件。本文GA算法的基本步驟:(1)根據設定的初始6種學習率,在其值上下波動范圍內隨機構建N個染色體種群,并計算各染色體的適應度值。(2)根據比例選擇法選擇父代染色體,以交叉率Pc對2個父代染色體進行交叉過程,進而產生后代。然后執行突變率為Pm的突變過程,使后代染色體隨機發生變化。(3)計算后代的適應度值,選擇適應度較高的染色體作為下一代的父代。(4)迭代執行步驟(2),(3),直到達到停止條件,并輸出最優染色體。GA算法流程圖如圖5所示。

圖5 本文GA算法流程圖

初始種群為一組具有N個初始解的集合,每個解稱為染色體或個體,其包含有限數量的基因。本文中的一個染色體包含6個基因,每個基因對應一種學習率,如圖6所示。

圖6 染色體編碼

本文基于控制器的跟蹤誤差構建一個適應度函數,用來計算染色體的適應度值FIT:

3 磁軸承控制的仿真分析

為了驗證本文F-WNN控制器的性能,將其與傳統PID控制器和文獻[5]提出的PIDNN控制器進行比較。

3.1 仿真設置

使用MATLAB軟件構建F-WNN控制器。對于MB,設置轉子的質量為3 kg;摩擦常數c為0.001;MB系統額定空隙z0為0.5 mm,其中推力盤集中在2個相反的磁軸承之間;功率放大器的輸入電壓和輸出電流比值為0.5 A/V;電磁常數k為8.47×10-6N·m2/A2;偏置電壓v0為1.4 V,以實現最佳瞬態和穩態控制性能。

對于本文F-WNN控制器,設定所有初始學習率為0.2,自連接反饋增益α=0.15。對于GA,設定種群大小為20,交叉概率為Pc=0.6,突變概率為Pm=0.1,迭代次數為100。此外,對于PID控制器,設置控制參數Kp=25,Kd=0.5,Ki=20。

本文提出的F-WNN控制器中,其目的是在考慮外部擾動和系統參數變化下控制轉子的位置。仿真實驗中設定一個參考軌跡,通過轉子對軌跡的跟蹤誤差來驗證控制性能。設定時刻t(秒)處的參考軌跡zm(t)如下:

在本文仿真中,在1～1.5 s處施加一個大小約為50 N的隨機擾動,并在3～5 s處,在轉子上添加一個49 N的負載,來測試控制器的魯棒性。

3.2 性能指標

本文性能度量:最大跟蹤誤差TM、平均跟蹤誤差TA和跟蹤誤差的標準偏差TS,表達式分別如下(R為測量次數):

式中:

3.3 仿真結果

仿真中,在初始時使用1 s的正弦波來訓練FWNN和PIDNN的初始參數,隨后利用實際數據來在線訓練網絡。另外,本文F-WNN的每個輸入設計為3個隸屬函數,因此,規則層有共有9個神經元,即 L=9。

首先,驗證本文F-WNN控制器中的GA性能。圖7(a)顯示了本文GA求解F-WNN中6種學習率參數的收斂過程,7(b)顯示了GA獲得的最優學習率參數值。可以看出,本文GA能夠快速地收斂到最優解,并獲得適合當前環境的學習率。

圖7 GA算法求解最優學習率的收斂性和結果

圖8 分別描述了3種控制方法的軌跡跟蹤響應和跟蹤誤差曲線。可以看到,在時間1～1.5 s處,由于添加了額外的外部干擾,致使產生較大的位置誤差。其中,PID控制器的誤差最大,這是因為固定增益的PID控制器不能較好地處理不確定性。PIDNN控制器在一定程度改善了跟蹤響應性能,但由于PIDNN逼近能力的限制,依然存在較大的跟蹤誤差。本文所介紹的F-WNN控制器在存在不確定因素情況下,依然能夠獲得滿意的跟蹤性能。這是因為,本文通過融合GA的在線學習算法,能有效地獲得適應當前環境的最佳F-WNN參數,提高了FWNN的控制性能。

圖8 3種方法的軌跡跟蹤響應和跟蹤誤差

為了進一步比較各種MB控制方法的性能,各種控制方法的最大跟蹤誤差TM、平均跟蹤誤差TA和跟蹤誤差的標準差TS的比較結果如表1所示。可以看出,相比于PID控制器,PIDNN和F-WNN控制器的性能都有明顯提升。其中,本文所介紹的FWNN控制器具有最優的控制精度,平均跟蹤誤差達到了0.73μm,比PID控制器降低了約6.5倍,比PIDNN控制器降低了約1.5倍。另外,本文 FWNN控制器的跟蹤誤差標準差值也較小,這說明其跟蹤誤差較為穩定。

表1 各種MB控制方法的性能比較

綜上仿真實驗證明,本文所介紹的F-WNN控制器能夠有效地控制高度非線性的MB系統。

4 結 語

本文提出一種基于融合GA的F-WNN控制方法,用于磁軸承轉子的控制。在考慮外部干擾的情況下建模MB動態模型;通過監督學習機制對FWNN的參數進行在線學習,利用遺傳算法(GA)優化學習率因子,以此提高F-WNN的性能;將轉子位置誤差作為F-WNN的輸入,實現轉子的自適應控制。在存在隨機擾動和轉子負載變化場景下進行仿真,結果表明,與現有其它方案相比,本文方法能夠精確地控制轉子跟蹤預定軌跡,并獲得了最低的平均誤差和誤差標準差。證明了本文F-WNN控制器能夠對非線性動態MB系統進行干擾魯棒控制。

在未來工作中,將在大量實際MB平臺中進行實驗,并考慮改進GA算法,進一步獲得最優學習率。

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