巧設(shè)問題鏈，助力學(xué)生拾級(jí)而上

張棟梁

[摘 要] 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師通常以問題鏈的形式來引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)、構(gòu)建認(rèn)知. 本文聯(lián)系教學(xué)實(shí)際，探討了高中數(shù)學(xué)問題鏈的設(shè)計(jì)原則和策略.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；問題鏈；設(shè)計(jì)原則；設(shè)計(jì)策略

問題是數(shù)學(xué)研究與發(fā)展的中心，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，問題同樣是助力學(xué)生的能力不斷提升的臺(tái)階. 教師在課堂通過問題來啟發(fā)學(xué)生的思維，調(diào)動(dòng)他們的求知欲，進(jìn)而促成他們解決問題能力的提升. 當(dāng)前教學(xué)中，我們通常以問題鏈的形式來引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)、構(gòu)建認(rèn)知，那么如何更加有效地設(shè)計(jì)問題鏈呢？筆者對(duì)此談幾點(diǎn)個(gè)人的認(rèn)識(shí).

[?] 高中數(shù)學(xué)問題鏈的設(shè)計(jì)原則

高中數(shù)學(xué)問題鏈的設(shè)計(jì)原則就是教師在設(shè)計(jì)問題鏈時(shí)所要遵循的基本要求和準(zhǔn)則.

1. 最近發(fā)展區(qū)原則

教師設(shè)計(jì)問題鏈要充分結(jié)合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的特點(diǎn)，讓學(xué)生在“跳一跳”的過程中“摘到桃子”. 要做到這一點(diǎn)，就要求教師充分了解學(xué)生的認(rèn)知水平和現(xiàn)有能力，知道學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)所在，從而以問題鏈的形式予以重點(diǎn)引導(dǎo)，幫助學(xué)生打開思維.

例如，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“函數(shù)的概念”，其實(shí)這對(duì)高一的學(xué)生而言并不是一個(gè)陌生的知識(shí)點(diǎn)，他們?cè)诔踔幸呀?jīng)有過很好的認(rèn)識(shí). 教師就可以通過問題鏈引導(dǎo)學(xué)生回顧初中已學(xué)的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等特點(diǎn)，由此切入，進(jìn)而幫助學(xué)生從中體會(huì)數(shù)集與數(shù)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用高中的知識(shí)框架重新來解讀函數(shù)的概念.

2. 循序漸進(jìn)的原則

學(xué)生探索數(shù)學(xué)問題、發(fā)展數(shù)學(xué)能力本身就是一個(gè)由淺入深、循序漸進(jìn)的過程，而問題鏈教學(xué)法的根本目的就是要通過環(huán)環(huán)相扣、層層推進(jìn)的問題來引導(dǎo)學(xué)生按照科學(xué)的規(guī)律來建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知. 所以教師在設(shè)計(jì)問題鏈時(shí)，務(wù)必要結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，注意問題的難度、梯度和呈現(xiàn)次序，由此讓學(xué)生在問題處理的過程中，也能積極體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般規(guī)律.

例如，和學(xué)生講解一些高難度問題時(shí)，教師要善于對(duì)問題進(jìn)行分解，將一個(gè)較難的問題分解為若干個(gè)難度中等而又逐步深入的問題，由此降低問題解決的難度，引導(dǎo)學(xué)生突破難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)問題的解決.

[?] 高中數(shù)學(xué)問題鏈的設(shè)計(jì)策略

相比于原則，策略更像是一種方法性的指南，好的策略能指引我們?cè)O(shè)計(jì)出好的實(shí)用性問題鏈. 結(jié)合基本原則，聯(lián)系教學(xué)實(shí)際，筆者認(rèn)為高中數(shù)學(xué)問題鏈的設(shè)計(jì)策略有以下幾點(diǎn).

1. 結(jié)合學(xué)生的探究需要設(shè)計(jì)問題鏈

學(xué)生內(nèi)心深處都存在這樣的需求——希望自己成為一名發(fā)現(xiàn)者、研究者和探究者. 而教師就可以通過問題設(shè)計(jì)來激起學(xué)生的這種欲望，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，將理解知識(shí)和建構(gòu)知識(shí)的任務(wù)交由學(xué)生來完成，教師則積極適應(yīng)角色轉(zhuǎn)換，以引導(dǎo)者的身份出現(xiàn)在課堂上.

例如，“二元一次不等式表示平面區(qū)域”這節(jié)課的教學(xué)，我們可以設(shè)置如下情境：班級(jí)準(zhǔn)備籌備聯(lián)歡晚會(huì)，選擇既美觀又經(jīng)濟(jì)，單價(jià)分別是2元和1元的大、小彩球布置會(huì)場(chǎng)，計(jì)劃用少于100元的錢購買，從會(huì)場(chǎng)的大小來看，大球數(shù)不少于10個(gè)，小球數(shù)不少于20個(gè)，請(qǐng)你結(jié)合上述各項(xiàng)要求設(shè)計(jì)出可行的購買方案.

根據(jù)這樣的情境，學(xué)生設(shè)元（設(shè)大球數(shù)為x，小球數(shù)為y），列式如下：

2x+y<100?2x+y-100<0，

x≥10，

x≥10

x≥20，

x∈N+，

y∈N+.

思考后可以求出若干組不同的解，如x=10，

y=20，x=20，

y=30，x=30，

y=30，x=32，

y=28……這些解都滿足2x+y-100<0.

由此出發(fā)介紹二元一次不等式和二元一次不等式組，新的問題隨之而來，并成為課堂的生長點(diǎn).

問題1：如何解二元一次不等式和二元一次不等式組？

問題2：二元一次不等式的解集表示什么區(qū)域？如2x+y-100<0，前面得到的解作為直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的話，這些點(diǎn)分布在怎樣的區(qū)域？

問題3：直線2x+y-100=0右上方及左下方的平面區(qū)域分別如何表示？

這些問題是學(xué)生在對(duì)情境的分析過程中自然呈現(xiàn)出來的，而且問題與問題之間存在著有效鏈接新舊知識(shí)的樞紐作用（如問題2和問題3），這樣的問題鏈從課堂的一開始就給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)較佳的學(xué)習(xí)認(rèn)知環(huán)境.

2. 結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)設(shè)計(jì)問題鏈

建構(gòu)主義認(rèn)為，認(rèn)知的建構(gòu)過程在于學(xué)生通過新舊經(jīng)驗(yàn)之間雙向的、反復(fù)的作用，從而建立并完善自己的經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu). 高中數(shù)學(xué)的許多概念之間有著體系化的聯(lián)系，教師如果能由新舊知識(shí)的連接點(diǎn)切入，設(shè)計(jì)問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生立足于已有認(rèn)知基礎(chǔ)，同時(shí)有效激活舊知識(shí)的延伸活力，使其成為新知識(shí)成長的根基，進(jìn)而在問題鏈的引導(dǎo)下逐步掌握新的知識(shí)和方法.

例如，在“數(shù)列”一課，當(dāng)學(xué)生已經(jīng)明確數(shù)列的定義之后，教師可以設(shè)計(jì)以下問題鏈：

問題1：函數(shù)和數(shù)列有什么關(guān)系？

問題2：函數(shù)和數(shù)列有什么差別？

問題3：已知某個(gè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-n2+7n+8，請(qǐng)判斷15是否是該數(shù)列的項(xiàng).

問題4：已知某個(gè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-n2+7n+8，試求該數(shù)列的最大項(xiàng).

在系統(tǒng)化學(xué)習(xí)數(shù)列之前，學(xué)生對(duì)函數(shù)已經(jīng)有了較為扎實(shí)的基礎(chǔ)，教師由此出發(fā)，將其作為數(shù)列認(rèn)知的生長點(diǎn)，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)列也是一類特殊的函數(shù)，由此積極地以函數(shù)的視角來研究數(shù)列，用處理函數(shù)問題的方法來處理數(shù)列的問題.

3. 結(jié)合數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來設(shè)計(jì)問題鏈

為了有效激活學(xué)生的獨(dú)立思維和創(chuàng)新意識(shí)，教師要能在數(shù)學(xué)課堂上靈活運(yùn)用各類教學(xué)手段，培養(yǎng)學(xué)生的信息收集和處理能力，進(jìn)而建構(gòu)新的認(rèn)知，掌握新的方法. 傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂上，我們過分側(cè)重于教師的講和學(xué)生的聽，這樣的模式無法充分帶動(dòng)學(xué)生的思考，學(xué)生始終處于被動(dòng)聽講的地位. 結(jié)合數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)問題鏈進(jìn)行教學(xué)能徹底變革上述教學(xué)模式，所謂“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”就是利用各類數(shù)學(xué)軟件，如幾何畫板、圖形計(jì)算器等，讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，并在此過程中觀察、推理、分析和證明，從而解決數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)認(rèn)知. 教師要積極創(chuàng)造條件，讓學(xué)生能充分地投入到實(shí)踐操作中，讓學(xué)生的被動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)學(xué)習(xí).

例如，關(guān)于“冪函數(shù)”的教學(xué)，傳統(tǒng)的教學(xué)方式是讓學(xué)生用“描點(diǎn)法”繪出圖像，然后直接提供冪函數(shù)的概念和表達(dá)式，一切都有一種強(qiáng)加于人的感覺，學(xué)生也會(huì)產(chǎn)生很多模糊的認(rèn)識(shí)，比如為什么一定要對(duì)指數(shù)的不同取值情形進(jìn)行討論，他們的學(xué)習(xí)過程非常被動(dòng). 但是如果讓學(xué)生自己選擇指數(shù)的不同取值，通過幾何畫板畫出圖像，學(xué)生將對(duì)冪函數(shù)產(chǎn)生更加直觀的認(rèn)識(shí)，然后教師在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用幾何畫板在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出不同指數(shù)的函數(shù)圖像；同時(shí)再提供階梯性的問題鏈，由此學(xué)生在問題的引領(lǐng)下，深入觀察和對(duì)比函數(shù)圖像的有關(guān)特點(diǎn)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的完美統(tǒng)一，讓學(xué)生充分經(jīng)歷“觀察→猜想→論證”的過程，讓他們由感性認(rèn)知過渡到形象化思維，再提升到抽象思維.

4. 借助習(xí)題的變式設(shè)計(jì)問題鏈

變式教學(xué)是教師在組織學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，變更有關(guān)概念中的非本質(zhì)特點(diǎn)，或是變更問題的條件和結(jié)論，或是變更問題的內(nèi)容和形式，抑或是變更問題的情境，使得學(xué)生在問題處理中能達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果. 變式也是我們進(jìn)行問題鏈組織的有效手段，從不同的角度、以不同的方式來設(shè)計(jì)問題，能培養(yǎng)學(xué)生靈活善變的思維能力，同時(shí)也能促使學(xué)生自發(fā)地對(duì)比情境和概念，深化數(shù)學(xué)知識(shí)的理解.

例如，在學(xué)習(xí)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式之后，教師可以通過問題變式來設(shè)計(jì)以下問題鏈：

問題1：已知a=1，an+1=2an（n∈N*），試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

問題2：已知a1=1，an+1=2an+1（n∈N*），試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

問題3：已知a1=1，an+1=2an+n（n∈N*），試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

問題4：已知a1=1，an+1=2an+kn+b（k，b為常數(shù)，n∈N*），試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

問題5：已知a1=1，an+1=2an+2n+1（n∈N*），試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

通過問題的變式可以讓原本孤立而具體的問題顯得比較抽象，由此能強(qiáng)化學(xué)生的抽象思維能力，并且通過處理這些似是而非的問題，學(xué)生也將在變和沒變的過程中感悟數(shù)學(xué)思維的靈動(dòng).