重視“問題解決”，提高學生數學核心素養

楊昆華

[摘 要] “問題解決”是繼“現代化”和“回歸基礎”之后國際數學教育界的又一潮流，我國數學教育改革明確提出：數學教育的內核實質就是數學核心素養，而數學建模能力、問題解決能力又是數學素養的核心之一，高考對“應用意識”的考查將進一步反映對數學建模、問題解決能力的考查. 本文就如何開展“問題解決”教學，積極而有效地引導學生置身于數學活動之中，通過“做數學”來體驗數學，學會用數學方式去思考、探索，進而解決問題.

[關鍵詞] 問題解決；數學核心素養；創新能力；數學體驗活動

“問題”（Problem）有別于我們經常做的“習題”（Exercise），習題的目的在于鞏固和練習（Exercise），內容是常規的，學生易于模仿，存在著解決這些習題的一般規則和原理，而“問題”應具有非常規、重視情景應用、探究性等特征，在數學課程中沒有用來確定解決這類問題的準確程序的一般規則和原理.“問題解決”（Problem Solving）是繼“現代化”和“回歸基礎”之后國際數學教育界的又一潮流，1980年，美國數學教師協會公布的《關于行動的議程》綱領性文件，提出了“問題解決必須成為80年代學校數學的焦點，數學教學應圍繞問題解決來組織”，以后各國紛紛響應，這種強調生動活潑，注重數學應用的教育思想，至今依然是數學教育的中心課題.

近年來，我國數學教育改革以“數學素質教育”為口號，以“問題解決”為突破口，出現了諸如“北京方正杯”中學數學知識應用競賽，江蘇省南京市一中的數學建模教學等活動，全國各地對“問題解決”的認識和研究進一步加強. 高中《新大綱》明確提出：數學教育的內核實質就是數學素質，而數學建模能力、問題解決能力又是數學素養的核心之一. 自1993年來，高考已明確體現對“應用題”的考查，且在今后很長時間內將進一步加強、完善對建模、問題解決能力的考查，可見其在數學教學中的重要地位，以下談談筆者在“問題解決”教學的一些嘗試，以期達到拋磚引玉的作用.

[?] 利用“問題”的“非常規”性，激發學生的學習興趣和認知內驅力

認知心理學認為，學生進入中學后，更為關注的不是趣味性的問題（或故事），而是那些“認知不協調”，即同常識、直觀不一致，與固有觀念有沖突，令人吃驚的結果，因此，非規范“問題”成為激活學生認知內驅力的恰當教材.

如：1. 一段平直的鐵軌AB，長為2千米，點C為AB的中點，其兩端固定，夏季因受熱而伸長2米，形狀變彎了，假設各段受熱膨脹均勻，那么，其中點C將距地面高度是多少？

若教師提出問題，讓學生憑直觀猜測，認為最多上升1-2米，然而錯了，實際計算的結果讓人大吃一驚，C點距地面將近45米，何等不合常規！此時，學生絕不會輕易放棄自己的思考，不會“心悅誠服”接受老師的結果，這正是極佳的學習動機，由此可促進學生的主動性、積極性及智力參與的強化，這恰好是開展圓及三角形的相關計算教學的最佳時機，其效果將大為提高.

2. 兩根電線桿相距l米，分別在高為10米的A處和15米的C處用鋼索將兩桿固定（圖2），問：（1）鋼索AD與鋼索BC的交點M處離地面高度MH與l有關嗎？（2）MH的高為多少？

當教師提出問（1），學生憑直覺認為有關，然而又錯了.

因為△BMH∽△BCD，△BMH∽△DAB，

所以=，=.

所以BH=l①，DH=l②，

①+②得：BH+DH=

+

MH·l，

而BH+DH=l，所以MH==6（米），與l無關！

結論與常規不符合，說明原有的認知結構不完全適合理解或解決問題，學生的習慣反應和處理模式遭到失敗，此時，最能激發學生的求知欲.

[?] 遵循認識規律，由淺入深，層層推進

人對事物的認識由感知到感性，由感性認識到理性認識，逐級深化，不斷提高.長期以來，我們強調對數學基礎知識的理解和掌握，這是我國數學教育的長處，但對知識的實際應用強調不夠，從而形成學生對數學情景的理解、感悟差. 因此，開始時盡量搞些簡單的、花時少、趣味性、實用性強的內容，增加學生興趣，擴大知識面，開闊視野.

如：1. 要在樓梯上鋪地毯，似乎需先測出樓梯的長度，其實，只需量出樓梯的高和寬即可.

如圖3，地毯長=1+2=3（m），

這是一個涉及知識點不多，但所用思考方法相當豐富，層層提高，對能力培養很有價值的問題.

略解：（1）設應設于X點，則總距離為A1A5+A2A4+A3X，當 X=0，即設于A3，總距離最小.

（2）同理，6個機器人時，設在 A3與 A4之間任一處均可.

（3）由（1）（2）得到啟示，當n為奇數時，供應點設在A處，當n為偶數，A與A+1之間任一點均可.

[?] 暴露思維過程，打破思維定式，促進正遷移

數學思維是人腦和數學對象交互作用并按一般思維規律認識數學規律的思維過程，是嘗試—失敗—再嘗試—再失敗……，直至成功的心理活動. A·斯托利亞爾指出：充分暴露數學思維過程是教學的原則，數學教學要求教師創造性地將知識發生、發展等思維過程“復現”出來.這樣，才真正符合人的認識規律，才能恰當掌握“最近發展區”利用已有認知結構，實現知識的正遷移.

如：1. 正方體的截面的形狀是什么？

問題沒有明確形狀有幾種，只要提出這個問題，幾乎所有學生都可以想到“三角形”（如圖5）；此時停一下，教師不給予肯定，不提示，大多數學生又想到“四邊形”（如圖6）；這時，提示，想一想，有沒有五邊形，對于五邊形就只有極少數能想到（如圖7），再進一步呢？能不能得到六邊形，這個提問對于真正理解五邊形的學生是很及時而恰當的. 學生類比前面結果，經過自我思考，可以解決，如圖8.

解決這個問題需要有直覺的空間想象能力及思維的深刻性、嚴謹性及構造思想，體現了解決問題、完善解答的思維過程.

2. 高一（3）班有學生60人，現要創建一個班級圖書室，要求每人至少捐一本書，各人所捐書數不相同，問要捐1830本書能否做到？

分析：應該如何把問題與所學知識聯系起來？各人至少一本，各不相同，我們不妨嘗第1人捐1本，第2人捐2本……，這時，由等差數列求和公式S60==1830（本），能夠做到！這個問題為何用等差數列？怎樣得到？此時，暴露思維：因為各不相同，按1、2、3、4……這種形式數目最小，因此去嘗試是什么情況，從而解決問題.

如果把問題改為：捐1800本（或1900本等）又是什么結果呢？怎樣思考？其實問題還是建立在上述問題的基礎上，大于1830本都可以，把多的本數放在第60人上（還有其他辦法），小于1830本不能做到，原因是出現重復.

學生在學習等差數列后，處于應用等差數列知識的“最近發展區”，此時，教師給予適當的點撥，就能順利實現知識的“正遷移”，打破固有的思維定式.

[?] 結合教材，強化應用意識，層層滲透，把“問題解決”落到實處

高中《新教材“大綱”》指出：分析和解決帶有實際意義的或在相關學科、生產和日常生活中的數學問題，會使用數學語言表達問題，進行分析，形成用數學的意識.根據大綱及我國改革對社會經濟發展需要，結合教材，就利息（單利、復利）、人口增長、生態平衡、環保、風險決策、成本核算、金融投資、供求關系等進行信息處理，抽象、歸納使之數學化，從而利用數學知識解決實際問題，問題的選擇力求做到適時、恰當.

如：1. 《人民日報》1992年7月12日至7月15日數據：1982年7月11日世界人口達到50億，聯合國將7月11日定為“世界人口日”，1992年的“世界人口日”全球人口達到54.8億.

問：（1）世界人口每年平均增加多少？

（2）人口增長率是多少？

（3）預測1993年7月11日世界人數.

（4）預測2000年7月11日世界人數.

這是一個增長率問題，與我們的生活息息相關，問題很具現實意義和教育意義，在掌握指數、對數知識后即可及時提出、解決（解略）.

2. 百貨公司的一頁賬簿上沾了墨，如圖表1，關于1月13日出售熱水壺只知道單價及金額后面的三個數碼是7.28，數量與金額前面的三個數碼都看不清，請你幫助查清這筆賬.這是生活中實際存在的問題，實用性強，實際情景客觀、具體. 如何使之數學化呢？

“略解”：設數量為x，金額前三位數為y，則：

49.36x=10y+7.28，

所以y=5x-1+.

令t=，則x==4-31t+.

令t1=∈N，代入得y=617t1-134，x=4-31t+t1=125t1-27.

因為100<617t1-134<1000，

所以

所以x=98，y=483.

所以水壺為98只，金額為4837.28元

這是一個不定方程的整數解討論及不等式的整數問題，解決需較強的分析能力和熟練的數學變形技巧，可在高三復習時引用解決. 再如上文所述問題，均可根據知識、能力情況適時引入，真正達到基礎與能力并重的教學目的.

“問題解決”是一種創造性工作，需要有敢于打破常規，另辟蹊徑的開拓創新精神，需要有靈活敏捷的思維方法，要透過現象，抓住本質，這正是學習數學的重要目的之一. 數學教學實質上是數學活動的教學，積極而有效地引導學生置身于數學活動之中，通過“做數學”來體驗數學，學會用數學方式去思考、探索、解決問題，必將提高學生的創造性思維能力，必將提高學生分析實際問題、解決實際問題的新型應用能力，必將提高學生的數學素養，促進數學素質教育的進一步發展.