連續(xù)時(shí)間二次最優(yōu)控制問(wèn)題

冀鵬飛

山東科技大學(xué) 山東青島 266000

在工程中，我們往往關(guān)注的是一個(gè)系統(tǒng)的漸近、Lyapunov穩(wěn)定等穩(wěn)定性行為，其中以研究漸近穩(wěn)定居多。在大多數(shù)情況下漸近穩(wěn)定能夠滿(mǎn)足工程的需求。但是漸近穩(wěn)定也有其缺陷,比如漸近穩(wěn)定刻畫(huà)的是一個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)而不是暫時(shí)狀態(tài)，因此在有些方面漸近穩(wěn)定缺乏其應(yīng)用性。在實(shí)際生活中，有些工程的系統(tǒng)工作周期比較短，比如導(dǎo)彈系統(tǒng)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)等。因此短時(shí)間穩(wěn)定系統(tǒng)的研究越來(lái)越受到人們的關(guān)注.Kamenkov于1953年首先提出有閑時(shí)間穩(wěn)定這個(gè)概念1961年Dorato提出了短時(shí)間穩(wěn)定的定義(即后來(lái)研究的有限時(shí)間穩(wěn)定的定義),并且提出了有限時(shí)間控制問(wèn)題。這以后，有限時(shí)間控制問(wèn)題的研究?jī)?nèi)容與范圍逐漸加深與擴(kuò)大，系統(tǒng)的短暫性性能隨之被研究，并且收到了廣大學(xué)者的關(guān)注。1969年Michel和wu在已有的許多研究成果之上把有限時(shí)間穩(wěn)定從連續(xù)時(shí)間推廣到離散時(shí)間。

本文利用凸分析的拉格朗日乘子定理研究帶終端的隨機(jī)線性二次最優(yōu)控制問(wèn)題，并且將平均場(chǎng)理論應(yīng)用到最優(yōu)控制問(wèn)題中，可以最大限度的減小噪聲對(duì)系統(tǒng)的影響，并能方便的處理噪聲方面的問(wèn)題。同時(shí)驗(yàn)證了平均區(qū)域隨機(jī)二次最優(yōu)控制問(wèn)題存在線性反饋?zhàn)顑?yōu)解的必要條件，其結(jié)果可以看作是平均場(chǎng)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)二次最優(yōu)控制問(wèn)題的推廣。

文章剩余部分組織如下，第一部分給出一些定義和預(yù)備知識(shí)。第二部分展示了我們的主要定理，通過(guò) Frehet差分方程驗(yàn)證控制問(wèn)題存在最優(yōu)解的必要條件，第三部分為文章總結(jié)。

定義1.1設(shè)X為向量空間，Y為賦范線性空間，T為X到Y(jié)的變換，對(duì)x，如果下面極限

定理1.2考慮以下形式的平均區(qū)域連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)：

本文主要研究了平均場(chǎng)線性二次最優(yōu)控制問(wèn)題。借助于拉格朗日乘子定理，我們給出了該問(wèn)題存在最優(yōu)解的必要條件，并計(jì)算出了狀態(tài)反饋?zhàn)顑?yōu)解。將平均場(chǎng)理論應(yīng)用到最優(yōu)控制問(wèn)題中，可以最大限度的減小噪聲對(duì)系統(tǒng)的影響并能方便的處理噪聲問(wèn)題。最后通過(guò)一個(gè)數(shù)值例子驗(yàn)證了結(jié)論的正確性。

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