分段函數、函數的可積性與原函數存在性問題分析

丁軍猛

摘 要：在數學教學當中主要分為兩部分教學內容，分別是函數和幾何，由此我們可以這樣說，函數內容占據著數學領域的半壁江山，在高等數學教學當中函數依然是非常重要的教學內容，特別是在關于函數的可積性與原函數的存在性關系上教師也曾反復多次強調二者并無聯系，本文將主要討論和分析分段函數、函數的可積性與原函數存在性的問題。

關鍵詞：分段函數；函數可積性；原函數；存在性問題

自從微積分概念出現以來，在某種程度上把不定積分也就是原函數與定積分即函數可積的概念相聯系起來，因此很多數學初學者便想當然的認為原函數的存在性和函數的可積性之間有著緊密的關系，也就是原函數存在則函數具有可積性，反之函數具有可積性那么原函數必定存在，但是經過分段函數的研究證明，函數的可積性與原函數的存在性之間并無半點聯系，更沒有初學者所想的相互關系。

一、分段函數的概述

分段函數從字面上看就是分為好幾段的函數，雖然它被分為好幾段但是仍然屬于一個整體，也就是說分段函數是一個函數，并不是好多個函數，在任何一個函數當中都有自變量x和與之相對應的值域y，而分段函數則是根據自變量具體數值的不同它的取值范圍也不再固定，是會隨著自變量的改變而改變，也就是說在分段函數中的每一段函數的定義域合并在一起才是整個分段函數的定義域，同樣每一段函數的值域合并在一起才是整個分段函數的值域。因為分段函數的特殊性，可以對函數的奇偶性、單調性、最小正周期、函數的最大值、最小值包括自變量的范圍等都可以展開具體的討論，解決分段函數的方法有很多，常見的有待定系數法、公式法和數形結合法等等。

二、函數的可積性

（一）可積函數的定義

在積分函數當中，可積函數分為兩種，一種是勒貝格積分，另外一種叫做黎曼可積，也就是我們所說的黎曼積分。簡單來說就是指若函數f（x）在[a，b]上存在積分，那么我們便認為函數f（x）在[a，b]上可積，也就是說函數f（x）在[a，b]上具有可積性。

（二）可積函數的充分條件

在函數的可積性當中有三條非常重要的定理，第一條是如果f（x）在[a，b]上具有連續性，那么我們可以認為函數f（x）在區間[a，b]上具有可積性；第二條是如果函數f（x）在[a，b]只有有限個第一類間斷點，并且零測度集是該類斷點，并且f（x）在[a，b]有界，那么我們則認為該函數此時具有可積性；第三條是若函數f（x）在[a，b]上不僅有界同時還具有單調性，那么此時該函數同樣具有可積性。

三、原函數存在性

（一）原函數的存在定理

假設函數f（x）在[a，b]上具有連續性，那么在該函數中一定存在原函數，這就是原函數的存在定理。但是連續性并不是原函數存在的必要條件，也就是說該條件不能反推回去，即函數f（x）中存在原函數，但是我們并不能夠認為函數f（x）在區間[a，b]上一定具有連續性。在有定于的區間上初等函數基本上都具有存在性，因此我們可以這樣認為，大部分初等函數在它的定義區間中存在原函數。

（二）間斷點同原函數的存在性

根據前文提到假設函數f（x）在[a，b]上具有連續性，那么在該函數上必然有原函數存在，我們可以推導得出，假設函數f（x）在[a，b]上沒有連續性，但是有第二類間斷點，那么我們仍然可以認為原函數可能具有存在性，也就是原函數可能存在；假設函數f（x）在區間[a，b]上沒有連續性，也沒有第二類間斷點，但是有第一類間斷點，那么原函數則必然不會存在。

四、函數的可積性與原函數存在性

（一）函數可積與原函數的存在性

根據可積函數的第一條定理，即如果f（x）在[a，b]上具有連續性，那么我們可以認為函數f（x）在區間[a，b]上具有可積性，也就是說具有連續性的函數必然會有原函數存在，也就是說變上限積分此時可以用來表示原函數，也就是如果函數f（x）在[a，b]上具有連續性，那么F（x）則一定是該函數在定義區間上的原函數。若是函數f（x）在[a，b]上有界并且只有有限個間斷點，那么函數具有可積性，但是此時函數中有的間斷點是第一類間斷點，那么原函數在區間[a，b]上必然不會存在，當然，如果說函數f（x）在[a，b]上具有的間斷點雖然是第二類，但是卻是無限個間斷點，那么同樣原函數在區間[a，b]上也必然不會存在。還有第三種情況，即函數f（x）在[a，b]上具有連續性且同時具有單調性，那么我們可以這么說在函數f（x）中一定存在著原函數，但是假設函數函數f（x）在[a，b]上有單調性但是不具有連續性，如果此時函數中的間斷點為第一類，那么同樣原函數也必然不會存在。

例如說假設[f（x）=1，x≥00，x<0]討論函數[]的可積性與原函數存在性。

因為[limλ-0（x）=1≠limλ-0（x）=0]，所以說x=0x是[]的第一類間斷點，而當[x≠0]時，因為函數[]是連續的，所以[]在任何包含遠點的區間上都不存在原函數，而[]在任何包含原點的區間上是可積的。

（二）原函數存在于函數的可積性

根據函數的可積性定理和原函數的存在定理我們可以看出，假如函數f（x）在區間[a，b]上具有連續性，那么該函數在區間內不僅具有可積性而且原函數也一定會存在，但是假如函數f（x）在區間[a，b]上沒有連續性，那么即是在該函數中具有第二類間斷點，也就是說原函數依然存在，但是并不一定代表著函數的可積性也同時存在，如果說函數f（x）在區間[a，b]上沒有連續性，且有第一類間斷點，那么即使該函數具有可積性，原函數也一定不會存在。

例如說假如[D（x）=1，x是無理數0，x是有理數]（Dirichlet函數），那么他可以在任一有限區間上，D（x）既沒有原函數，也不可積。

但是其實任意實數都是Dirichlet函數的非無窮間斷點，并且其無介值性，因此并不存在原函數；同時，可作二不相等的積分之和，因此，Dirichlet函數在任一有限區間上不可積。

在分段函數的補充說明之下，證明了函數的可積性與原函數的存在性之間并沒有任何直接的相互聯系，也就是說如果該函數具有可積性，那么原函數并不一定會有存在性；如果原函數具有存在性，那么函數并不一定也同時具有可積性，當然，還存在一種函數它既沒有可積性也沒有存在性，因此數學初學者在學習的過程中不必在糾結于函數可積性與原函數存在性之間的關系問題。

參考文獻：

[1]馬保國、王延軍. 分段函數、函數的可積性與原函數存在性[J]. 大學數學，2009，02：200-203.

[2]陳妙琴. 關于分段函數、函數可積性與原函數存在性問題[J]. 福建教育學院學報，2007，07：109-110.