常數變易法的教學思考

【摘要】 常數變易法是求解常微分方程比較重要的一種。本文通過求解一階線性非齊次微分方程的例子對常數變易法進行探討，進而揭示常數變易法的實質。

【關鍵詞】常數變易法 微分方程

Variation of constants method on the teaching

Zhou Shouming

（College of Mathematics Science，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China）

【Abstract】Constant variation method is one of the more important methods to solve the differential equation.We study constant variation method through solving inhomogeneous linear differential equations，and then revealing the essence of this method.

【Keywords】Variation of constants method； ODE

【基金項目】國家自然科學基金（No.11301573）。

【中圖分類號】O175.1-4 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）08-0016-01

十八、九世紀數學家采用各種特殊的技巧求解不同的方程，不斷探索而產生的解常微分方程的數學理論。常數變易法是由伯努利首先提出，歐拉和拉格朗日推廣并沿用至今的解微分方程的特殊的技巧。常數變易法是將對應齊次方程的通解中的常數變易為一個待定函數，代入原非齊次ODE求出待定函數，進而得到非齊次方程的通解。實質上是一種變量變換的思想。在許多教材中對常數變易法根本就沒有相關的說明或論述，只是強調了如何套用其結果去計算。這使得學生在學習求解微分方程時感到十分困惑，特別是方法中把任意常數c變易成待定函數c（x）從而求得非齊次線性微分方程的通解，這更讓學生感覺疑惑，學生會感覺利用常數變易法求出的非齊次線性微分方程的通解公式不是很嚴謹，懷疑方程的通解是否唯一等等，因此，對常數變易法的教學就顯得尤為重要。下面通過例題就有關常數變易法求解一階線性非齊次微分方程的通解進行探討[1，2]。

一、常數變易法步驟

利用常數變易法求解一階線性非齊次微分方程的步驟：

（1）求對應的齊次微分方程的通解；

（2）將常數c變易成待定函數c（x）得到原方程的解；

（3）代入原方程得到；

（4）通過積分求得；

（5）得到原方程通解。

二、應用舉例

例 求方程的通解。

解法一 易解得原方程所對應的齊次方程

， （1）

的通解為（c為任意常數）， （2）

將（2）中任意常數c換成待定函數c（x），則

， （3）

對（3）兩邊求導后代入原方程化簡得，（4）

對（4）兩邊積分得， （5）

將（5）代入（3）得原方程得通解為.

解法二 直接利用一階線性非齊次微分方程的通解公式得

亦即.

由于一階常微分方程的通解中只有一個任意常數，為了求原方程通解還需將上式代入原方程。代入原方程左邊得：當且僅當時，方程兩才邊相等，而這里c2與c3都是任意值，所以每次c2與c3的選取必須要保證的c2c3=1。

從解法1和解法2可以看到所求得一階線性非齊次微分方程的通解雖然形式不一樣，但最后結果是一致的。

三、教學總結

直接利用通解公式時要令所有積分常數為0，所得解才是原方程的通解。通解公式記憶起來比較復雜，對初學者可用1中的步驟來求解。常數變易法的實質是想借形象直觀的方法來簡化解一階線性非齊次微分方程的繁瑣步驟，其思想是化繁為簡，退一步解決一個與原問題對應的齊次ODE，然后將所得解進行常數變異設為原問題的解，再根據題中條件求出待定函數。其中最重要的是領會常數變易法的思想，拓寬解決問題的思路。事實上，常數變易法在求解非齊次線性常微分方程中的作用還絕不僅僅局限于此，它在求解高階非線性常微分方程方面還有很大的研究價值[3，4]。

參考文獻：

[1]王高雄，周之銘等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1983.

[2]丁同仁，李承治.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1985.

[3]張青山，李鳳清.用常數變易法求一類遞推數列的通項公式[J]，四川師范教育學院學報，2009-11-09（9）：3-6.

[4]汪維剛.關于常數變易法求一階線性非齊次微分方程通解的兩點思考[J].安慶師范學院學報，2012-06-18（2）：4-5.

作者簡介：

周壽明（1983-），男，湖北黃岡人，博士研究生，主要從事偏微分方程的研究。