“握在手中”的中考題

劉頓

不難發(fā)現(xiàn)，許多中考數(shù)學(xué)題的背景知識(shí)正是取材于日常生活中，尤其是有關(guān)銳角三角函數(shù)的考題更是貼近生活，甚至是我們每天在學(xué)習(xí)時(shí)經(jīng)常觸摸的學(xué)習(xí)工具，比如圓規(guī)、三角板、鉛筆、計(jì)算器等，可以說(shuō)是“握在手中”的中考題。為方便同學(xué)們學(xué)習(xí)，現(xiàn)以2016年中考題為例說(shuō)明如下。

例1 （山東煙臺(tái)卷）下圖是我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計(jì)算器面板，利用該型號(hào)計(jì)算器計(jì)算cos55°，按鍵順序正確的是（ ）

A. 2 × cos 5 5 =

B. 2 cos 5 5 0 =

C. 2 cos 5 5 =

D. 2 5 5 cos =

分析 簡(jiǎn)單的電子計(jì)算器工作順序是先輸入者先算，其中R-CM表示存儲(chǔ)、讀出鍵，M+為存儲(chǔ)加鍵，M-為存儲(chǔ)減鍵，根據(jù)按鍵順序?qū)懗鍪阶樱俑鶕?jù)開(kāi)方運(yùn)算即可求出顯示的結(jié)果。

解 利用該型號(hào)計(jì)算器計(jì)算cos55°，按鍵順序正確的是：，故應(yīng)選C。

說(shuō)明 本題主要考查利用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)的值的方法，求解時(shí)要能熟悉數(shù)的開(kāi)方的意義，明確計(jì)算器上各個(gè)功能鍵的作用，會(huì)根據(jù)按鍵順序列出所要計(jì)算的式子。事實(shí)上，借助計(jì)算器這樣的工具做題，既能鍛煉同學(xué)們的動(dòng)手能力，又能提高同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣，有助于對(duì)知識(shí)的掌握和運(yùn)用。

例2 （浙江麗水卷）數(shù)學(xué)拓展課程《玩轉(zhuǎn)學(xué)具》課堂中，小陸同學(xué)發(fā)現(xiàn)：一副三角板中，含45°的三角板的斜邊與含30°的三角板的長(zhǎng)直角邊相等。于是，小陸同學(xué)提出一個(gè)問(wèn)題：如圖，將一副三角板直角頂點(diǎn)重合拼放在一起，點(diǎn)B，C，E在同一直線(xiàn)上，若BC=2，求AF的長(zhǎng)。

請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決這個(gè)問(wèn)題。

分析 由三角板各角的大小，結(jié)合題意，可先由正切的定義求出AC，再由正弦的定義求出CF，進(jìn)而計(jì)算即可。

解 在Rt△ABC中，BC=2，∠A=30°，由正切的定義，得AC=2，則EF=AC=2，∵∠E=45°，∴由正弦的定義，得FC=EF·sinE，∴AF=AC-FC=2。

說(shuō)明 本題以司空見(jiàn)慣的一副三角板為背景，意在考查特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用。掌握銳角三角函數(shù)的概念、熟記特殊角的三角函數(shù)值是順利解題的關(guān)鍵。

例3 （浙江臺(tái)州卷）保護(hù)視力要求人寫(xiě)字時(shí)眼睛和筆端的距離應(yīng)超過(guò)30cm，如圖1是一位同學(xué)的坐姿，把他的眼睛B，肘關(guān)節(jié)C和筆端A的位置關(guān)系抽象成如圖2的△ABC，已知BC=30cm，AC=22cm，∠ACB=53°，他的這種坐姿符合保護(hù)視力的要求嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）

分析 依題意，為了方便求解，可通過(guò)作垂線(xiàn)構(gòu)造出直角三角形，進(jìn)而根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BD，DC的長(zhǎng)，再結(jié)合勾股定理得出答案。

解 他的這種坐姿不符合保護(hù)視力的要求。理由：如圖2所示，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，∵BC=30cm，∠ACB=53°，∴由正弦的定義，得sin53°≈0.8，解得BD=24，再由余弦的定義，得cos53°≈0.6，解得DC=18，∴AD=22-18=4（cm），∴由勾股定理，得AB=<30， ∴他的這種坐姿不符合保護(hù)視力的要求。

說(shuō)明 此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，求解時(shí)需要通過(guò)對(duì)問(wèn)題的理解，將其轉(zhuǎn)化到直角三角形中來(lái)，根據(jù)題意得出BD，AD的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵。

例4 （江西卷）如圖1是一副創(chuàng)意卡通圓規(guī)，如圖2是其平面示意圖，OA是支撐臂，OB是旋轉(zhuǎn)臂，使用時(shí)，以點(diǎn)A為支撐點(diǎn)，鉛筆芯端點(diǎn)B可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)作出圓，已知OA=OB=10cm。

（1）當(dāng)∠AOB=18°時(shí)，求所作圓的半徑；（結(jié)果精確到0.01cm）

（2）保持∠AOB=18°不變，在旋轉(zhuǎn)臂OB末端的鉛筆芯折斷了一截的情況下，作出的圓與（1）中所作圓的大小相等，求鉛筆芯折斷部分的長(zhǎng)度。（結(jié)果精確到0.01cm）

（參考數(shù)據(jù)：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511）

分析 （1）依題意，只需求出等腰三角形的底邊AB即為求所作圓的半徑，此時(shí)可過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB，利用等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合正弦的定義求解。（2）由題意可知在OB上找到一點(diǎn)E，使得AE=AB，而B(niǎo)E即為所求。此時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OB于點(diǎn)E，于是在等腰三角形ABE中仿照（1）的方法即可求解。

解 （1）如圖，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB，∵OA=OB，OC⊥AB，∴AC=BC，∠AOC=∠BOC=∠AOB=9°，在Rt△AOC中，由正弦定義，得sin∠AOC=，∴AC≈0.1564×10=1.564，∴AB=2AC=3.128≈3.13，∴所作圓的半徑是3.13cm。

（2）以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OB于點(diǎn)E，作AD⊥BE于點(diǎn)D。∵AE=AB，AD⊥BE，∴BD=ED，∠BAD=∠EAD=∠BAE。∵∠AOB=18°，OA=OB，AB=AE，∴∠BAE=18°，∴∠BAD=9°，在Rt△BAD 中，由正弦定義，得sin∠BAD=，∴BD≈0.1564×3.13≈0.4895，∴BE=2BD=0.979≈0.98，∴鉛筆芯折斷部分的長(zhǎng)度約為0.98cm。

說(shuō)明 解答完本題，同學(xué)們?cè)趺匆矝](méi)有想到自己天天打交道的圓規(guī)，也被搬進(jìn)了中考試卷中，而且題目設(shè)計(jì)新穎，值得我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中關(guān)注。

（編輯 白 鳥(niǎo)）