從混沌擺到混沌理論的探索研究

勞奇奇+余熙玥

摘 要：隨著我國社會經濟和科學技術的飛速發展，人民生活水平不斷提高。在物質文明進步的同時，人們對精神文明的追求日益強烈。科普知識作為精神文明的重要組成部分，也日益受到人們的關注。從普及科普知識的角度出發，從混沌擺講到混沌理論，用通俗易懂的各種生活現象解釋晦澀難懂的混沌理論，力求讓更多人了解混沌現象。

關鍵詞：蝴蝶效應；混沌擺；混沌理論；邏輯斯蒂方程

中圖分類號：O415.6 文獻標識碼：A DOI：10.15913/j.cnki.kjycx.2017.06.004

一只南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的蝴蝶，偶爾扇動幾下翅膀，2周以后在美國德克薩斯州引起一場龍卷風。這就是蝴蝶效應。其原因是蝴蝶扇動幾下翅膀，會引起蝴蝶身邊氣流微弱的變化，微弱的氣流變化又會引起周圍的空氣變化或其他系統的變化，從而引起一連串的連鎖反應，最終導致其他系統極大的變化。

1 “蝴蝶效應”是混沌理論的一個概念

“蝴蝶效應”是混沌理論的一個概念。一件芝麻綠豆大的小事，經過一傳十，十傳百，可能被放大改變成一條天要塌下來的大新聞。所謂“失之毫厘，謬以千里”，就是蝴蝶效應最簡略的表示。也許如此比喻有些言過其實，但卻充分展示了初值對結果的重要性。“混沌”就是指在確定性系統中因對初始值敏感而表現出不可預測，不可重復，類似隨機性的運動。任何事物的發展都存在確定性和不確定性，事物在發展過程中有規律可循，但一個微小的變化可以影響甚至改變事物的發展過程，說明事物發展的復雜性。混沌理論就是一個既存在確定性又存在不確定性的系統理論。

如何清晰直觀地演示混沌理論中的確定性和不確定性呢？紹興科技館的一件創新展品——混沌擺或許可以給出答案。

圖1為混沌擺。該混沌擺展品為“T”字擺，“T”字的頂點處各安裝一個小擺，“T”字的交點處安裝一個旋轉手柄。轉動手柄時，3個頂點的小擺隨之被帶動，并互相影響，呈現出不規則的運動狀態。在每一個擺的擺桿底部都安裝有紅外發射器，攝像機實時動態地捕捉紅外發射器的運動軌跡，并通過差值算法生成平滑軌跡曲線顯示在屏幕中。

單擺的運動很容易預測，但將3個單擺用T形桿固定，每個擺的運動會影響其他2個擺的運動，這樣就使運動復雜無序，無法預測。即使旋轉手柄時，初始力度或者方向只差一點點，最終屏幕中顯示的曲線也將是截然不同、無法預測的。同時，可以確定的是，無論初始力度或者方向如何變化，單擺都始終活動在一個圓形范圍之內。這樣就很好地演示了晦澀難懂的混沌理論中的確定性和不確定性。

在說起蝴蝶效應或者混沌理論時不得不說一下愛德華·洛倫茨。他是美國麻省理工學院做氣象研究的一位科學家。20世紀60年代，他使用笨重而龐大的計算機模擬影響氣象的大氣流。由于不放心第一次計算的結果是否正確，他決定用計算機再計算一次，最后居然出現完全不一樣的結果。最終發現是初始數據略有不同，第一次是使用計算機中存儲的數據，第二次是洛倫茨自己將計算機存儲的眾多數據中的其中幾個進行了四

舍五入，初值出現微小的差別，結果卻千差萬別。洛倫茨發現，初始值的微小變化，會隨著時間的變化被指數放大。那么，這樣的天氣預報是否還有實際意義呢？于是，洛倫茨開始研究動力系統的相空間。相空間中的一個狀態點，確定了系統的一個狀態，也叫該系統的吸引子，即系統最后的歸屬。例如，一個帶有阻尼運動的單擺，如果沒有其他情況發生，靜止不動就是它最后的歸屬，因此單擺運動的吸引子是它的相空間中的一個固定點。如果這是一個帶有動力的鐘擺，它將會做周期性運動，鐘擺運動的吸引子便是一個橢圓。洛倫茨將氣象預報的參數和方程簡化成一個由3個變量及時間系數決定的微分方程組，最終得到如圖2所示的奇異吸引子圖。這個系統似穩非穩，似亂非亂，亂中有穩，穩中有亂。這是一個外表規則有序的兩翼蝴蝶形態，內部卻無序而隨機的復雜的混沌過程。這恰巧與混沌擺展示的混沌現象不謀而合。

2 各行業中的混沌理論

除了氣象變化中存在混沌，股票市場經濟發展中也存在混沌現象。傳統金融學觀點認為股票市場遵循有效市場和隨機變動的規律。這2個因素使得收益率的概率近似于正態分布。然而，分形之父物理學家曼德勃羅研究發現收益曲線并不是正態分布，而是一種“穩定帕累托分布”。穩定帕累托分布是一種不連續的分形分布，用來描述財富在個人之間的分配情況，即20%的人占有80%的社會財富，而80%的人只占有剩下的20%.混沌理論正好可以解釋80/20法則。混沌理論的觀點認為50/50的分配是極不穩定的，就像蝴蝶效應，微小的偏差將會很快被放大，最終離開平衡狀態，導致向一邊傾斜。有錢人會越來越有錢，因為社會財富會產生社會財富。但最終也不可能變成99/1這樣的分配，混沌理論中雖蘊藏無序隨機，但也不是盲目的無序隨機，始終不能脫離其確定性。在財富分配中，如果出現99/1的情況，貧富差距特別巨大，社會必然出現動蕩不安的情況，最終實現財富的重新分配。隨后有經濟學家在貨幣指數中發現經濟混沌，并用數學方程描述了經濟混沌，呈現出金融世界的非線性動力學本質。混沌理論中的混沌實際是一種紊亂現象背后蘊藏著確定的邏輯，蘊藏著一個可知的非線性。混沌經濟學家們就是在努力找尋這種非線性關系。宏觀經濟的混沌運動，與一般的混沌還存在不同之處，即混沌中疊加了一個周期的波動，即經濟增長周期或金融危機周期。

生態繁衍也有混沌理論的影子。生兒育女，生老病死，生命的誕生和消亡，其內部都蘊藏著混沌理論。人口論簡單的基本公式為：

Xn+1=（1+r）Xn=kXn.

式（1）中：Xn+1為第n+1代的人口數；Xn為第n代的人口數；r為人口增長率。

有了這個公式，我們以某年的人口作為初始人口來迭代，便可以推算下一年的人口，以此類推。實際上，戰爭、瘟疫、饑荒等情況是伴隨著人口繁衍而同時發生的，必須在公式中加以考慮。因此，我們對它進行修正，在式（1）右方減去一個平方修正項，變為：

Xn+1=kXn-（k/N）·（Xn）2.

也可寫成：

xn+1=kxn-k（xn）2=kxn（1-xn）.

負號表明各種不利影響導致下一代人口Xn+1的減少。這就是生態學著名的邏輯斯蒂方程。參數k的數值大小決定了混沌的出現與不出現。當k較小時，混沌并不出現；當k大到一定數值時，混沌才出現。具體如圖3所示。

3 哲學思想中也蘊含著混沌理論

中國傳統文化的哲學思想中也蘊含著混沌理論。邏輯斯蒂分岔圖描述的是生態繁衍，如果最后的群體數趨向一個固定值，叫作周期1；如果最后群體數在2個固定值之間變來變去，叫作周期2；如果最后群體數在3個值之間跳動，就叫周期3.群體繁殖的周期數目逐漸增多，最后導致奇異現象出現。有科學家證明，如果一個連續函數有一個周期為3的點，這個函數的長期行為將十分奇特，就像洛倫茨發現的奇異吸引子那樣，最終會走向混沌。老子在《道德經》中寫道：“道生一，一生二，二生三，三生萬物。”這是對宇宙起源的探索和認識，有物混成，先天地生。周期3即混沌，這也很好地驗證了老子說的“三生萬物”。為何不是二生三，三生四，而是三生萬物，說明到三后事情就變化了，這個“三”似乎是線性到非線性的轉折點。“事不過三”“三人成虎”“三陽開泰”“三人行必有吾師”等都與“三”有關。《周易》記載，盤古開天辟地，混沌初分。《莊子·應帝王》記載，南海之帝為倏，北海之帝為忽，中央之帝為混沌。幾千年前的中國哲人就已經使用“混沌”一詞，并將“三”和混沌相聯系。

4 結束語

混沌理論無處不在，它藏于我們工作、生活的方方面面。有些已經為我們所用，但我們仍然需要用心去探索與追尋，也許你就是下一個洛倫茨，下一個龐加萊。對混沌理論的研究從未停止，我們一直在路上。

參考文獻

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