拋物線中的平行四邊形存在性問題

拋物線中的平行四邊形存在性問題是中考中常考題型，其解決辦法的突破口在于尋找分類標準，分類標準尋找的恰當，可以使解的個數又快又準確，然后再畫圖，最后通過計算解決問題。如果已知三個定點，則平行四邊形的第四個頂點有三種情況，以已知三個定點為三角形的頂點，過每個點畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產生3個交點。如果已知兩個定點，一般是把確定的一條線段按邊或對角線分為兩種情況，然后利用平行四邊形的性質找到相等關系而解決問題。下面通過幾道中考例題具體說明拋物線中的平行四邊形存在性的解題策略。

一、已知三個定點，一個動點，探究平行四邊形的存在性

例1.已知拋物線[y=-ax2+2ax+b]與x軸的一個交點為A（-1，0），與y軸的正半軸交于點C。

（1）直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與x軸的另一個交點B的坐標。

（2）當點C在以AB為直徑的⊙P上時，求拋物線的解析式。

（3）坐標平面內是否存在點M，使得以點M和（2）中拋物線上的三點A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由。

解：（1）對稱軸是直線：x=1，點B的坐標是（3，0）。

（2）[y=-33x2+233x+3]。

（3）存在。理由：連接AC、BC，設點M的坐標為M（x，y）

①當以AC或BC為對角線時，點M在x軸上方，此時CM∥AB，且CM=AB，AB=4

∴|x|=4，[y=OC=3]。

∴點M的坐標為[M4，3]或[-4，3]。

②當以AB為對角線時，點M在x軸下方過M作MN⊥AB于N，則∠MNB=∠AOC=90°

∵四邊形AMBC是平行四邊形，∴AC=MB，且AC∥MB

∴∠CAO=∠MBN，∴△AOC≌△BNM，∴BN=AO=1，[MN=CO=3]

∵OB=3，∴ON=3-1=2，∴點M的坐標為[M2，-3]

綜上所述，[M14，3]，[M2-4，3]，[M32，-3]

點評：本題已知三個定點坐標的具體數值，如果沒有規定由三點構成的三條線段中哪條為邊或對角線，則三種情況都必須考慮。

二、兩個定點、兩個動點，探究平行四邊形的存在性

例2.拋物線經過A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三點。

（1）求該拋物線的表達式。

（2）點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使以點Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標。

解：（1）拋物線的表達式為[y=13x2-23x-1]。

（2）①當AB為邊時，只要PQ//AB，且PQ=AB=4即可，又知點Q在y軸上，∴點P的橫坐標為4或-4，這時，將合條件的點P有兩個，分別記為P1，P2。此時[P14，53]，P2（-4，7）。

②當AB為對角線時，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，又知點Q在y軸上，且線段AB中點的橫坐標為1，∴點P的橫坐標為2，符合條件的點P只有一個，記為P3，此時P3（2，-1）綜上所述，[P14，53]，P2（-4，7），P3（2，-1）。

點評：本題已知兩個定點坐標的具體數值，一般是把確定的一條線段按照邊或對角線分為兩種情況，利用平行四邊形的性質找到相等關系而解決問題。

例3.已知：如圖，關于x的拋物線[y=ax2+x+ca≠0]與x軸交于點A（-2，0）、點B（6，0），與y軸交于點C。

（1）求出此拋物線的解析式，并寫出頂點坐標。

（2）在拋物線上有一點D，使四邊形ABDC為等腰梯形，寫出點D的坐標，并求出直線AD的解析式。

（3）在（2）中的直線AD交拋物線的對稱軸于點M，拋物線上有一動點P，x軸上有一動點Q，是否存在以A、M、P、Q為頂點的平行四邊形？

解：（1）拋物線解析式為[y=-14x2+x+3]，頂點坐標是（2，4）。

（2）點D坐標為（4，3），直線AD的解析式為[y=12x+1]。

（3）直線[y=12x+1]與拋物線對稱軸x=2的交點坐標為M（2，2）。

假設x軸上動點Q（m，0），以A、M、Q頂點的平行四邊形的第四個頂點坐標。

若以MQ為對角線，則P1（m+4，2），代入[y=-14x2+x+3]得[m=-2±22]。

若以AM為對角線，則P2（-m，2），代入[y=-14x2+x+3]得[m=-2±22]。

若以AQ為對角線，則P3（m-4，-2），代入[y=-14x2+x+3]得[m=6±26]。

綜上所述：[Q122-2，0]，[Q2-22-2，0]，[Q36-26，0]，[Q46+26，0]。

點評：先假設一個動點的坐標，將其看成一個定點，按照平移的性質，寫出第四個頂點的坐標，再由另一動點應滿足的條件，求出相應的坐標。

因此，我們在日常的教學活動中，要加強對新課程的研究，滲透新課程的理念，按照新課程的要求及時滲透數形結合的思想、幾何變換的思想，引導學生從不同的角度思考問題，這樣才能從教材簡單的例、習題中獲得解決問題的新方法、新思想，才能引導學生重視教材，同時培養學生探索的能力和創新的意識。

作者簡介：

婁霖林（1980—），男，漢族，湖北潛江人，本科，二級教師，初中數學教師。