全柔性桿空間機械臂動力學(xué)與運動L2增益抗擾魯棒反演控制

張麗嬌 陳 力

福州大學(xué)機械工程及自動化學(xué)院，福州，350116

全柔性桿空間機械臂動力學(xué)與運動L2增益抗擾魯棒反演控制

張麗嬌 陳 力

福州大學(xué)機械工程及自動化學(xué)院，福州，350116

討論了全柔性桿空間機械臂系統(tǒng)動力學(xué)、運動L2增益抗擾魯棒反演控制。結(jié)合拉格朗日方法、動量守恒關(guān)系和假設(shè)模態(tài)法對系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)分析，獲得了系統(tǒng)的動力學(xué)方程。基于系統(tǒng)雙時標(biāo)模型，采用奇異攝動法，將系統(tǒng)降階分解為兩個子系統(tǒng)：描述關(guān)節(jié)剛性運動的慢變子系統(tǒng)，描述柔性桿振動的快變子系統(tǒng)。為慢變子系統(tǒng)設(shè)計了對外部有界干擾具有抑制作用的魯棒反演控制器，使外部有界干擾對系統(tǒng)性能輸出的L2增益小于給定值；基于線性系統(tǒng)最優(yōu)控制理論實現(xiàn)了快變子系統(tǒng)的控制，以抑制由臂桿柔性引起的振動。數(shù)值仿真說明了所設(shè)計混合控制器的可行性和有效性。

空間機械臂；全柔性桿；L2增益；魯棒反演控制；主動抑振

0 引言

空間機械臂是空間站重要的操作工具，柔性空間機械臂是其發(fā)展的必然趨勢[1-2]。未來關(guān)于空間機械臂柔性桿的研究不僅要探索其運動學(xué)及動力學(xué)模擬[3-4]，而且還要保證空間機械臂在受外部擾動情況下，仍能有效完成各種空間操作任務(wù)。全柔性桿空間機械臂是一個具有強耦合、時變等特點的復(fù)雜動力學(xué)系統(tǒng)，運動時會因彈性變形產(chǎn)生振動[5]，其系統(tǒng)動力學(xué)模型與相應(yīng)的控制方法相較于地面機器人系統(tǒng)更為復(fù)雜。因此，如何獲得全柔性桿空間機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型，以及如何抑制系統(tǒng)振動是空間機器人研究領(lǐng)域的核心內(nèi)容[6-9]。

相較于空間機械臂，人們對地面機械臂中柔性桿機械臂的研究居多[10-11]。另外，空間機械臂在柔性桿方面的控制研究主要集中在剛-柔耦合的系統(tǒng)動力學(xué)建模和相應(yīng)的控制器，即空間機械臂只具有一個柔性桿。文獻(xiàn)[12]針對剛?cè)峄旌峡臻g機械臂設(shè)計了自適應(yīng)模糊H∞控制器，用模糊邏輯系統(tǒng)去逼近系統(tǒng)的不確定項，最終能實現(xiàn)關(guān)節(jié)運動軌跡跟蹤，并抑制單柔性桿引起的振動。全柔性桿的空間機械臂中，柔性桿之間的柔性振動會相互激發(fā)，系統(tǒng)的控制器設(shè)計及其參數(shù)調(diào)節(jié)遠(yuǎn)比只具有單柔性桿的空間機械臂系統(tǒng)難度大得多[13-14]。

本文首先利用假設(shè)模態(tài)法，將動量守恒關(guān)系和拉格朗日方程相結(jié)合，建立了全柔性桿空間機械臂的動力學(xué)模型，來實現(xiàn)全柔性桿空間機械臂關(guān)節(jié)運動軌跡跟蹤控制，并解決由柔性桿引起的系統(tǒng)振動問題。接著，基于全柔性桿空間機械臂的雙時標(biāo)模型，采用奇異攝動法將系統(tǒng)降階分解為快慢變兩個低階子系統(tǒng)，對慢變子系統(tǒng)設(shè)計了一種魯棒反演控制器，對快變子系統(tǒng)采用最優(yōu)控制方法抑制柔性臂桿的柔性振動。最后，通過對平面運動的兩柔性桿空間機械臂的數(shù)值模擬，驗證了所提出的控制方案有效性。

1 全柔性桿空間機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)模擬

做平面運動的自由漂浮基全柔性桿的空間機械臂系統(tǒng)的幾何模型如圖1所示。以空間任意點O為原點，建立平動的慣性坐標(biāo)系OXY，其中，B0為系統(tǒng)的載體基座，Bi(i=1，2，…，n)為系統(tǒng)第i個柔性臂(視為Euler-Bernoulli懸臂梁且僅產(chǎn)生橫向振動)。

圖1 全柔性桿空間機械臂Fig.1 Space manipulator with flexible-links

建立分體Bi的主軸聯(lián)體坐標(biāo)系Bixiyi；x0通過O0與O1的連線，xi是Bi的對稱軸，exi、eyi分別為分體Bi聯(lián)體坐標(biāo)系xi軸和yi軸方向的單位向量；m0、J0分別為B0的質(zhì)量與中心轉(zhuǎn)動慣量，l0為載體質(zhì)心O0到關(guān)節(jié)絞O1之間的距離；設(shè)柔性臂Bi單位長度的線密度為ρi，均勻抗彎剛度為EIi(材料彈性模量為常量E，橫截面關(guān)于中性軸的慣性矩為常量I)。q0為載體姿態(tài)的實際轉(zhuǎn)角，qi為桿Bi的實際轉(zhuǎn)角，li為桿Bi的長度；r0為B0質(zhì)心O0的位置向量，ri為柔性臂Bi上任意一點相對慣性坐標(biāo)系OXY原點O的位置向量，rc為總質(zhì)心Oc的位置向量。

基于假設(shè)模態(tài)法[15]，并由振動分析理論可知，柔性臂Bi橫坐標(biāo)為Xi(0

(1)

其中，φij(Xi)為柔性臂Bi的第j階模態(tài)函數(shù)，選取φij(Xi)=sin(πjXi/li)；δij(t)為φij(Xi)的模態(tài)坐標(biāo)；ni為截斷項數(shù)。低階模態(tài)對桿件的彈性振動起主導(dǎo)效應(yīng)，故取前2個低階模態(tài)進(jìn)行研究，即有ni=2。

根據(jù)系統(tǒng)的位置幾何關(guān)系，載體及各柔性臂上任意一點相對于慣性坐標(biāo)系的位置矢徑可表達(dá)為

(2)

式(2)對時間求導(dǎo)，得

(3)

太空中，全柔性桿空間機械臂系統(tǒng)的重力勢能可忽略，系統(tǒng)總勢能Ep等于柔性臂的彎曲應(yīng)變能，即

(4)

系統(tǒng)載體及各柔性臂的動能為

(5)

利用第二類拉格朗日方程耦合動量守恒定理，可得圖1所示載體位置不受控、姿態(tài)受控的全柔性桿空間機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)方程：

(6)

Kδ=diag[Kδ1，Kδ2，…，Kδn]

2 控制器設(shè)計

2.1 系統(tǒng)動力學(xué)奇異攝動分解

奇異攝動法利用系統(tǒng)狀態(tài)變量在時間尺度上的差別，把一個高階系統(tǒng)的求解任務(wù)分解成兩個(或多個)低階系統(tǒng)的求解問題。

載體位置不受控、姿態(tài)受控的全柔性桿空間機械臂動力學(xué)模型可展開為

(7)

(8)

假設(shè)柔性臂剛度矩陣Kδ中的最小剛度為kδmin，并定義μ2kδmin=1，引入新的變量μ2σ=θδ，Kμ=μ2Kδ，則式(6)可變換為

(9)

令μ=0，結(jié)合式(9)，可得到慢變子系統(tǒng)的動力學(xué)方程：

(10)

其中，下標(biāo)s表示μ=0時的矩陣或向量，τs表示慢變子系統(tǒng)的控制器。

(11)

其中，τf為快變子系統(tǒng)的控制器。

全柔性桿空間機械臂系統(tǒng)的控制目標(biāo)為：設(shè)計控制器τ，使系統(tǒng)的關(guān)節(jié)鉸能準(zhǔn)確追蹤期望軌跡并使部分解耦系統(tǒng)(式(9))的振動得到控制。最終，將慢變子系統(tǒng)控制器τs與快變子系控制器τf結(jié)合，可得總控制器τ表達(dá)式:

τ=τs+τf

(12)

2.2 慢變子系統(tǒng)控制器的選取

綜合考慮存在外部有界干擾τd(t)，設(shè)計了基于L2增益的抗擾魯棒反演控制器。反演設(shè)計方法的基本思想是將復(fù)雜的非線性系統(tǒng)分解成不超過系統(tǒng)階數(shù)的子方程系統(tǒng)，然后為每個子方程系統(tǒng)分別設(shè)計Lyaponov函數(shù)和中間虛擬控制量，直到完成整個系統(tǒng)控制器的設(shè)計。

干擾信號τd(t)的L2范數(shù)為

(13)

該范數(shù)可衡量外部有界干擾τd(t)對系統(tǒng)影響的大小。

為了驗證控制器對干擾的抑制能力，可選擇相應(yīng)有用的評價信號z。評價信號z和干擾信號τd(t)的L2范數(shù)越小，說明系統(tǒng)對干擾有著越大的抑制能力，可定義系統(tǒng)的L2增益如下：

(14)

J表示系統(tǒng)魯棒性，J越小，系統(tǒng)的魯棒性能越好。

L2干擾抑制法可等價為求解一個基于Lyaponov穩(wěn)定性理論的耗散不等式問題，即對于一個正數(shù)(干擾抑制水平因子)γ，如果存在一個正定且可微函數(shù)V(x)≥0且

(15)

(16)

根據(jù)文獻(xiàn)[15]的Backstepping設(shè)計方法，取如下變量：

z1=x1-xd

(17)

(18)

把式(18)中的β看作是虛擬控制輸入，對其進(jìn)行設(shè)計。

將式(17)兩邊對時間t求導(dǎo)，結(jié)合式(18)得

(19)

針對式(16)中的第一個子方程，定義Lyaponov函數(shù)：

V1=z1·z1/2

(20)

對式(20)求導(dǎo)，并結(jié)合式(19)得

(21)

選取

β=-(k+1/2)z1

(22)

綜合式(21)、式(22)，可得

(23)

設(shè)計慢變子系統(tǒng)的控制器如下：

(24)

(25)

其中，τr為魯棒控制器，P為給定的評價系數(shù)矩陣，它保證了系統(tǒng)一致最終有界穩(wěn)定，P=diag(p1，p2，p3)。

結(jié)合式(16)、式(18)和式(24)可得

(26)

針對式(16)中的第二個子方程，定義Lyaponov函數(shù)：

V1=(z1·z1+z2·z2)/2

(27)

對式(27)兩邊求導(dǎo)，結(jié)合式(21)、式(26)，可得

-(k+1/2)z1·z1-Pz2·z2+z2·(τd+τr)≤

(γ2|τd|2-|z1|2-|z2|2-

|z2/γ-τd|)2/2≤(γ2|τd|2-‖z‖2)/2

(28)

式(28)兩邊同時對時間t從0到∞積分，可得

(29)

由式(29)可知，系統(tǒng)滿足耗散不等式(式(15))，即從干擾τd到性能輸出z的L2增益J≤γ。且由式(29)知，τd=0時，閉環(huán)系統(tǒng)是一致漸近穩(wěn)定的；τd≠0時，由于外部干擾有界，那么閉環(huán)系統(tǒng)是一致最終有界穩(wěn)定的。

2.3 快變子系統(tǒng)控制器的選取

忽略不確定部分，快變子系統(tǒng)為線性系統(tǒng)且完全可控。本節(jié)擬采用最優(yōu)控制策略來對快變子系統(tǒng)(式(11))進(jìn)行控制。為此，定義系統(tǒng)性能指標(biāo)函數(shù)為

(30)

其中，Rf∈R(n+1)×(n+1)，Qf∈R2nin×2nin分別為正定和半正定的常值矩陣。設(shè)Pf為如下Ricatti方程的唯一解

(31)

則快變子系統(tǒng)的最優(yōu)控制器可定義為

(32)

3 仿真算例與分析

為驗證基于L2增益抗擾魯棒反演控制器的有效性，對平面運動的兩柔性桿空間機械臂進(jìn)行動力學(xué)數(shù)值模擬仿真。利用第2節(jié)中所設(shè)計的復(fù)合控制器τ對系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析。仿真過程共耗時t=10 s。選取系統(tǒng)慣性參數(shù)的真實值l0=1.5 m，l1=l2=3.0 m，載體質(zhì)量m0=200 kg，載體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量J0=70 kg·m2。柔性臂B1、B2的單位長度線密度ρ1=ρ2=1.1 kg/m，抗彎剛度EI1=100 N·m2，EI2=50 N·m2。控制系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)μ=0.01，k=1，p1=p2=p3=40。外部有界干擾τd=0.1[sgn(sint) sgn(cost) sgn(sint)]T。

假定兩柔性桿空間機械臂系統(tǒng)載體姿態(tài)角、各關(guān)節(jié)角的期望運動軌跡分別為q0d=π/2 rad，q1d=7π/16 rad，q2d=3π/8 rad，載體姿態(tài)角、各關(guān)節(jié)角的初始運動位置為q0(0)=1.68 rad，q1(0)=1.25 rad，q2(0)=1.25 rad。L2增益γ=0.1時，仿真結(jié)果如圖2～圖4所示。

圖2 載體姿態(tài)角、關(guān)節(jié)角的跟蹤誤差圖(γ=0.1)Fig.2 Tracking errors of attitude angle and joints angles(γ=0.1)

圖3 柔性臂B1的彎曲振動模態(tài)(γ=0.1)Fig.3 Vibration modes of flexible link B1(γ=0.1)

圖4 柔性臂B2的彎曲振動模態(tài)(γ=0.1)Fig.4 Vibration modes of flexible link B2(γ=0.1)

L2增益γ=0.005時，仿真結(jié)果如圖5～圖7所示。

圖5 載體姿態(tài)角、關(guān)節(jié)角的跟蹤誤差圖(γ=0.005)Fig.5 Tracking errors of attitude angle and joints angles(γ=0.005)

圖6 柔性臂B1的彎曲振動模態(tài)(γ=0.005)Fig.6 Vibration modes of flexible link B1(γ=0.005)

圖7 柔性臂B2的彎曲振動模態(tài)(γ=0.005)Fig.7 Vibration modes of flexible link B2(γ=0.005)

對比圖2、圖5的收斂時間可知，前者的載體姿態(tài)角、關(guān)節(jié)角的跟蹤誤差值只需3 s左右就可以基本收斂到零，而后者則需要7 s左右才能達(dá)到同樣的收斂誤差。因此可通過調(diào)節(jié)參數(shù)γ的大小來調(diào)整系統(tǒng)收斂時間。增大調(diào)節(jié)參數(shù)可縮短系統(tǒng)跟蹤誤差的收斂時間，但有時會造成關(guān)節(jié)電機輸出功率飽和而影響控制效果，因此可根據(jù)實際需求來適當(dāng)選取控制參數(shù)γ的大小。由圖3、圖4、圖6、圖7可看出，通過開啟(實線)與關(guān)閉(虛線)快變子系統(tǒng)可知，開啟快變子系統(tǒng)使得由柔性桿引起的振動得到較快的收斂。

4 結(jié)語

本文利用假設(shè)模態(tài)法，通過拉格朗日第二類方程和動量守恒關(guān)系，忽略微弱重力勢能，建立了全柔性桿空間機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型，并對其進(jìn)行了動力學(xué)分析。

采用奇異攝動法對兩柔性桿空間機械臂進(jìn)行了數(shù)值仿真，根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)變量在時間尺度上的差別，在考慮外部有界干擾情況下，將系統(tǒng)降階分解為描述關(guān)節(jié)剛性運動的慢變子系統(tǒng)與描述柔性桿振動的快變子系統(tǒng)；設(shè)計了基于L2增益的魯棒反演控制的慢變子系統(tǒng)及基于線性最優(yōu)控制的快變子系統(tǒng)的復(fù)合控制器；實現(xiàn)了全柔性桿空間機械臂關(guān)節(jié)運動軌跡跟蹤控制系統(tǒng)，抑制了由柔性桿引起的系統(tǒng)振動。數(shù)值模擬仿真結(jié)果證實了該設(shè)計控制器的有效性，并驗證了所設(shè)計的控制器能抑制外部有界干擾給系統(tǒng)帶來的影響。將上述控制器進(jìn)行適當(dāng)?shù)难由旒皵U(kuò)展，最終可推廣應(yīng)用于全柔性桿空間機械臂系統(tǒng)中。

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(編輯 張 洋)

Dynamics Model and Anti-disturbance L2Gain Robust Backstepping Control for Space Manipulators with Fully Flexible Links

ZHANG Lijiao CHEN Li

School of Mechanical Engineering and Automation,Fuzhou University,Fuzhou,350116

Dynamics model and anti-disturbance L2gain robust backstepping control for space manipulators with fully flexible links were discussed. A dynamic model of the system was successively derived by combining with Lagrange equations, the system linear momentum and assumed mode method. Based on singular perturbation method, the system was decomposed into a slow subsystem which was described joint rigid trajectory tracking, and a fast subsystem which was described the vibrations of flexible links. A robust backstepping controller which made the external bounded disturbances had the performance of the L2gain of the output system is less than the given value. And the controller also might suppress external bounded interferences. Vibrations of the flexible links were suppressed by optimal control theory of linear systems for the fast subsystem. Numerical simulations show the feasibility and effectiveness of the hybrid control.

space manipulator; fully flexible link; L2gain; robust backstepping control; active vibration suppression

劉海燕，女，1988年生。集美輕工業(yè)學(xué)校先進(jìn)制造產(chǎn)業(yè)系助理講師。主要研究方向為微納制造與精密加工。發(fā)表論文2篇。潘引波，男，1984年生。集美輕工業(yè)學(xué)校先進(jìn)制造產(chǎn)業(yè)系助理講師。姜佳昕，女，1992年生。廈門大學(xué)航空航天學(xué)院碩士研究生。張 愷，男，1993年生。廈門大學(xué)航空航天學(xué)院碩士研究生。鄭高峰(通信作者)，男，1984年生。廈門大學(xué)航空航天學(xué)院副教授。E-mail：zheng_gf@xmu.edu.cn。柳 娟，女，1978年生。廈門大學(xué)航空航天學(xué)院副教授。

2016-06-13

國家自然科學(xué)基金資助項目(11372073,11072061)；福建省工業(yè)機器人基礎(chǔ)部件技術(shù)重大研發(fā)平臺(2014H21010011)

TP241

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.08.013