一種微操作平臺的自適應運動跟蹤控制

胡俊峰 鄭昌虎 蔡建陽

江西理工大學機電工程學院，贛州，341000

一種微操作平臺的自適應運動跟蹤控制

胡俊峰 鄭昌虎 蔡建陽

江西理工大學機電工程學院，贛州，341000

針對微操作平臺的遲滯非線性和時變性，提出單神經元PID控制策略來對其進行運動跟蹤控制，從而提高平臺的運動精確性和響應快速性。采用RBF神經網絡辨識器對微操作平臺的梯度信息進行在線辨識，利用單神經元網絡學習算法完成PID參數的在線自整定，實現微操作平臺的自適應運動跟蹤控制。為說明所提出控制方法的可行性，將其與普通PID控制方法進行了比較分析，實驗結果表明，單神經元PID與普通PID控制的位移誤差范圍分別為-0.5～0.5μm、-2.5～2.5μm，調整時間分別為0.1s、0.4s，所提出控制方法具有更好的控制精度和響應快速性，并具有較強的自適應性。

微操作平臺；單神經元PID控制；運動跟蹤；RBF神經網絡；壓電驅動器

0 引言

目前，微操作平臺在微細加工、微機電系統、生物工程、光學工程、醫療器械等領域的應用越來越廣[1-3]。柔順機構是利用柔性元件的彈性變形傳遞或轉換運動和力的一種新型機構，具有無摩擦、無間隙、分辨率高和加工簡單等優點，特別適宜作為微操作機器人機構。壓電陶瓷(PZT)驅動器具有輸出力大、響應快和剛度大等優點，將PZT驅動器與柔順機構結合所組成的微操作平臺具有操作精度高、動態性能好的優點。

但是，PZT存在遲滯現象以及蠕變與率相關等時變非線性特性，同時，加工誤差會造成微操作平臺結構參數的偏差，這些非線性和不確定因素均會降低平臺的運動精度。為使微操作系統在運動跟蹤過程中具有較高的響應速度和準確性，需要采用自適應和魯棒性控制策略對其進行運動跟蹤控制。

目前，提高微操作平臺運動精度的控制方法主要為開環前饋控制與閉環反饋控制。開環前饋控制需要建立PZT的遲滯模型，利用其逆模型進行遲滯補償，以便消除PZT遲滯現象對微操作平臺的影響[4]，從而提高平臺的運動精度。但是，建立平臺遲滯模型過程復雜，且求解其逆模型困難，不能補償微操作平臺結構參數偏差產生的不確定性。目前，微操作平臺進行運動跟蹤控制的閉環控制方法主要為普通PID算法、模糊算法、遺傳算法、滑模算法等[5-7]。閉環控制方法的適應能力強，可以對PZT驅動器與微操作平臺的加工誤差進行補償。普通PID算法簡單，易于實現，實用性強，但參數難整定；模糊算法[8]、遺傳算法[9]、滑模算法[10]、神經網絡算法[11-12]等智能控制方法自適應能力強，但算法復雜，難于實現實時在線控制。所以，需要尋找一種易于實現且具有自適應性的控制策略來實現微操作平臺的運動跟蹤。基于RBF神經網絡的單神經元PID控制策略具有自適應和自學習能力，并且結構簡單、易于實現，適用于具有高度非線性和不確定性的微操作平臺的運動控制。

本文以某一維微操作平臺為對象，針對微操作平臺的遲滯非線性和時變性，提出一種基于RBF神經網絡的單神經元PID控制策略來進行平臺的運動跟蹤控制。

1 微操作平臺的模型

微操作平臺由柔順機構和PZT驅動器(呈電容特性[2])組成[1]，其等效模型如圖1所示。圖1中，C、R、Ka、Uin、Uout和x分別表示驅動器的等效電容、等效電阻、放大系數、輸入電壓、輸出電壓和輸出位移。由Kirchhoff定理可得

(1)

圖1 微操作平臺等效模型Fig.1 Equivalent model of micro-manipulation stage

由式(1)可得Uout到Uin的傳遞函數：

(2)

式中，T為時間常數，T=RC。

疊堆型壓電驅動器由多片壓電陶瓷片粘結而成，驅動器輸出位移可表示為

x(t)=nd33Uin(t)

(3)

式中，n為壓電陶瓷片個數；d33為應變系數。

聯合式(2)、式(3)可得驅動器輸出位移到輸入電壓之間的傳遞函數：

(4)

由式(4)可知，壓電驅動器可等效為一階慣性系統，但系統參數K1和T未知，為采用實驗方法獲取該參數，對驅動器施加階躍信號Ua，其響應為

x(t)=K1(1-e-t/T)Ua

(5)

式(5)中的K1和T可通過階躍響應實驗測得。t=4T時，一階系統的響應已達穩態值的98%，可認為PZT達到穩態。設系統達到穩態所需時間為ts，穩態輸出位移為x(ts)，則可得參數：

(6)

柔順機構可簡化為質量-彈簧-阻尼系統，如圖1所示。圖1中，m為柔順機構的質量，μ為機構的阻尼系數，K為機構剛度，F為壓電驅動器輸出力，y為平臺的輸出位移。壓電陶瓷為有限剛度的彈性器件，故驅動器作用在柔順機構的輸出力為

F=Ktx

(7)

式中，Kt為壓電驅動器的剛度。

則柔順機構的動力學方程可表示為

(8)

對式(8)進行拉氏變換并化為標準形式

(9)

式中，ωn為柔順機構的無阻尼固有頻率；K2為放大系數；ξ為阻尼比。

由式(9)可知，要確定柔順機構的模型，需要先確定參數K2、ωn和ξ。ωn和ξ可采用實驗模態測試方法得到。

由圖1可知，微操作系統是驅動器與柔順機構組成的串聯系統，聯合式(4)、式(9)可得其傳遞函數：

(10)

對PZT驅動器施加階躍電壓Ua，由終值定理可得平臺響應的穩態值：

(11)

由式(11)可得

K2=y(∞)/(K1Ua)

(12)

由式(12)可知，只要確定平臺階躍響應的穩態值就可確定參數K2。

2 基于RBF神經網絡的單神經元PID控制

單神經元PID控制器結構如圖2所示，其中，r(k)、y(k)分別為采樣時刻t=kTs(Ts為采樣周期)時微操作平臺的期望位移和實際輸出位移，Uout(k)為控制器的輸出電壓，kP為比例系數，wi(i=1，2，3)為連接權值，z-1表示延遲環節。r(k)與y(k)經狀態轉換得到單神經元的輸入：

(13)

式中，e(k)為微操作平臺的目標位移與實際位移的偏差，e(k)=r(k)-y(k)。

單神經元PID控制器的輸出為

(14)

圖2 單神經元PID控制器結構Fig.2 Structure of single neuron PID controller

普通增量式PID控制器輸出可表示為[14]

Uout(k)=Uout(k-1)+kPx1+kIx2+kDx3

(15)

對比式(14)、式(15)可知，單神經元PID的連接權值w1、w2與w3相當于增量式PID的比例系數kP、積分系數kI與微分系數kD。單神經元PID與普通PID不同之處在于，可通過有監督的Hebb學習規則在線實時自調整連接權值wi，以實現微操作平臺的自適應和自學習控制。為了實現連接權值的自適應調整，引入最優控制的二次型性能指標：

E=(r(k+1)-y(k+1))2/2

(16)

為求取E的最小值，采用梯度下降法對式(16)進行調整，得到wi的迭代表達式

(17)

(18)

聯合式(17)、式(18)可得連接權值wi的修正值：

Δwi=wi(k+1)-wi(k)=

(19)

基于RBF神經網絡的單神經元PID控制系統結構如圖3所示，圖中，yout(k+1)可以通過RBF神經網絡辨識逼近微操作平臺的實際輸出位移y(k+1)，則平臺梯度信息為

(20)

圖3 基于RBF神經網絡的單神經元PID控制系統Fig.3 Single neuron PID control system based on RBF neural network

聯合式(19)、式(20)可得單神經元PID連接權值的修正值

(21)

(22)

隱層具有6個神經元，隱層徑向基函數為高斯核函數，第j(j=1，2，…，6)個隱層單元的輸出為

(23)

X=(xR1，xR2，xR3)Cj=(cj1，cj2，cj3)

其中，Cj為第j個隱層神經元的中心點矢量；|X-Cj|為X與Cj之間的距離，Cj越接近輸入值，高斯函數對輸入越敏感；bj為高斯函數的寬度，影響高斯函數對輸入的映射能力。

RBF網絡隱層到輸出層的映射是線性的，網絡輸出為

(24)

式中，wcj為連接隱層第j個神經元與對應輸出層的權值。

由式(23)、式(24)可知，RBF神經網絡的未知參數包括基函數的中心向量Cj、寬度bj和輸出層的連接權值wcj。為此，設定辨識系統的學習目標

J=(y(k+1)-yout(k+1))2/2

(25)

為了實現最佳逼近，采用梯度下降法分別沿J對cji、bj、wcj的負梯度方向搜索可得RBF神經網絡的未知參數[13]

(26)

eR(k+1)=y(k+1)-yout(k+1)式中，ηR為RBF神經網絡的學習速率，取值范圍為[0，1]。

所以，聯合式(22)～式(24)可得平臺梯度信息：

(27)

根據上述理論可歸納出基于RBF網絡在線辨識的單神經元PID自適應控制算法流程，如圖4所示。

圖4 控制算法流程Fig.4 Processes of control algorithm

(1)初始化單神經元權值wi、學習速率η，RBF神經網絡參數Ci、bi、wci和學習速率ηR，確定采樣周期Ts與采樣時間，設定所期望的平臺運動位移信號。

(2)采樣得到t=kTs時刻的期望位移r(k)與實際輸出位移y(k)，由式(13)可計算得到該時刻單神經元的輸入xi，由式(14)計算得單神經元PID控制器的輸出Uout(k)。Uout(k)作用于微操作平臺時，平臺會產生下一步的實際輸出位移，即時刻t=(k+1)Ts的實際輸出位移y(k+1)。

(3)將Uout(k)、y(k+1)與y(k)輸入RBF神經網絡，由式(24)可計算得RBF網絡的辨識輸出yout(k+1)。

(4)根據y(k+1)與yout(k+1)產生的偏差信息，由式(26)對RBF網絡的各參數進行修正。

(5)根據修正后的RBF網絡，由式(27)可求得平臺的梯度信息?yout(k+1)/?Uout(k)。

(6)根據平臺的期望與實際輸出位移之間的偏差e(k+1)和梯度信息?yout(k+1)/?Uout(k)，由式(21)對單神經元的權值wi進行在線修正。

(7)判斷采樣時間是否到達，若已到達，則停止，若未到達，則令k←k+1，返回步驟(2)繼續執行。

根據上述的控制算法可知，該算法采用RBF神經網絡對微操作平臺進行在線辨識，利用辨識的輸出獲得平臺的梯度信息，并利用該梯度信息對單神經元PID的權值進行在線實時調整，實現了在線學習和自適應控制，可消除微操作平臺的遲滯現象和系統的不確定性。

3 試驗驗證

如圖5所示，試驗裝置由柔順機構、PZT驅動器、驅動電源、位移傳感器、信號調理器、D/A卡、工控機組成。壓電驅動器為哈爾濱芯明天公司生產的80VS12，驅動電源為芯明天公司的XE-501，位移傳感器為PI 公司生產的D-E20.200，D/A卡和A/D卡分別為NI公司的PCI-6713和PCIe-6341。首先，通過實驗方法確定式(10)中傳遞函數的參數T、K1、K2。實驗數據采集過程如圖6所示，采用LabVIEW軟件產生一階躍信號，信號電壓Ua(Ua=4 V)經功率放大后，作為壓電驅動器的輸入電壓Uin(Uin=60 V)，采用位移傳感器測量出驅動器的輸出位移x與微操作平臺的輸出位移y。

圖5 實驗配置Fig.5 Experiment setup

圖6 實驗數據采集過程Fig.6 Acquisition process of experimental data

圖7 壓電陶瓷驅動器階躍響應Fig.7 Step response of piezoelectric actuator

圖8 微操作平臺階躍響應Fig.8 Step response of micro-manipulation stage

壓電驅動器和平臺的輸出位移分別如圖7、圖8所示。由圖7可知，壓電驅動器為一階系統，其響應穩定值為41.3 μm，由式(6)可得參數T=0.01 s，K1=10.325。由圖8可知，平臺的階躍響應穩態值為67 μm，由式(12)可得參數K2=1.622。

微操作平臺的阻尼系數可以通過實驗模態[14]測試得到。如圖9所示，實驗模態測試的實驗裝置包括力錘、加速度傳感器、動態信號分析儀。加速度傳感器為PCB公司的Model 356A16。采用脈沖錘擊法進行實驗模態測試，用力錘在平臺不同位置進行敲擊，產生一個寬頻帶的激勵，敲擊點為圖9中的A、B、C、D。加速度傳感器位于微操作平臺的輸出端，測量4個不同敲擊點的加速度信號。為消除噪聲干擾，對每個敲擊點進行多次測量，每個測點的測量次數為5。使用激勵點和各測量點的時間歷程數據，利用軟件DHDAS求出各測點的頻響函數曲線，如圖10所示。采用導納圓法對4組頻響數據進行曲線擬合，得到系統的固有頻率ωn=231 Hz，阻尼比ξ=0.159。

圖9 模態實驗配置Fig.9 Modal experiment setup

圖10 實驗模態的頻響曲線Fig.10 Frequency response curve of experiment modal

將參數ωn、ξ、T、K1和K2代入式(10)，可得微操作平臺的傳遞函數：

(28)

為了驗證所提出控制算法的有效性和優越性，將其與普通PID控制進行了對比分析。由式(28)所示的微操作平臺動力學模型，采用ZN臨界比例法[15]進行整定可得PID參數kP=0.84，kI=67.2，kD=1.2。單神經元PID連接權值相當于普通PID的比例系數、積分系數與微分系數，單神經元PID連接權值的初始值分別設為kP、kI、kD，學習速率η=0.2，kP=0.9。RBF神經網絡的連接權值wcj的初始值為0、1之間的隨機數，學習速率ηR=0.2。中心向量Cj離RBF網絡輸入量越近，高斯函數對輸入越敏感，因此可根據RBF網絡的輸入值范圍確定Cj，考慮到實際的xR1為D/A采集卡輸出電壓，其范圍為0～10 V，xR2與xR3為平臺輸出位移，設定目標位移最大值為20 μm，xR2與xR3的范圍為0～20 μm，則取高斯核函數參數C的初始值：

(29)

設hj=0.5，將Cj與X的初始值代入式(23)求得bj的初始值100。設采樣周期Ts=5 ms，采樣時間為2 s。

圖11 跟蹤正弦信號時的輸出位移Fig.11 Output displacements when tracking a sinusoidal signal

圖12 跟蹤正弦信號時的輸出位移誤差Fig.12 Output displacement error when tracking a sinusoidal signal

為說明所設計的控制算法在平臺運動跟蹤過程中具有較高的精確性和快速性，首先設微操作平臺的期望位移為正弦信號r(t)=10 sin(2πt-π/2)+10，如圖11所示，該期望位移要求平臺輸出端的運動行程為0～20 μm，頻率為1 Hz。分別采用基于RBF神經網絡的單神經元PID算法與普通PID算法進行運動跟蹤控制，由2種控制算法得到平臺的實際輸出位移如圖11所示，它們與期望位移的誤差如圖12所示。由圖11、圖12可知，采用普通PID控制算法進行運動跟蹤控制時，運動初始階段的跟蹤誤差較大，不能即時跟蹤到目標位移，0.4 s后能跟蹤到所期望位移，但運動誤差范圍為-2.5～2.5 μm；采用所提出算法進行運動跟蹤控制時，在初始階段就能跟蹤到期望位移，且運動誤差范圍為-0.5～0.5 μm。所以，與普通PID控制相比，單神經元PID控制的運動跟蹤更快、更準確。

單神經元PID的連接權值調整情況如圖13所示，由圖13可知，連接權值在運動跟蹤過程中是隨時間變化的，即控制器可以根據微操作平臺的實際情況進行PID參數的實時調整，實現自適應控制；在運動跟蹤初始階段，w1和w2會發生較小的變化，w3迅速增大。由圖11可知，普通PID算法在初始階段產生較大的誤差，單神經元PID通過增大w1、w2，使跟蹤誤差減小；誤差減小后，減小w1、w2至合適值并保持穩定，增大w3，提高微操作平臺的響應快速性，使其能更快地進行位移跟蹤。所以，相比于普通PID控制，單神經元PID可以自動調整參數，迅速減小誤差，使其能更快地進行位移跟蹤。

圖13 跟蹤正弦信號時連接權值調整情況Fig.13 Connection weight adjustment when tracking sinusoidal signal

為進一步說明所提出控制策略的運動跟蹤響應快速性，設微操作平臺所跟蹤的期望位移為圖14所示的方波信號(該期望位移要求平臺輸出端的運動行程為0～20 μm，頻率為1 Hz)，分別采用所提出算法與普通PID算法進行運動跟蹤控制，得到平臺的實際輸出位移，如圖14所示。由圖14可知，文中算法的調整時間約為0.1 s，PID算法的調整時間約為0.4 s，說明所提出的算法具有更快的響應速度。

圖14 跟蹤方波信號時的輸出位移Fig.14 Output displacements when tracking a square signal

方波信號在轉折處的變化快，要求平臺在跟蹤方波信號時具有較高的響應速度，單神經元PID能通過改變連接權值實現平臺的快速響應。PID連接權值的變化情況如圖15所示，由圖15可知，在方波信號的轉折點處，w1、w2產生較小的波動，w3會迅速增大，參數的這種變化會縮短平臺的調整時間，從而提高平臺的運動跟蹤響應速度。所以，所提出的控制方法能根據微操作平臺的實際情況進行自適應控制，消除平臺的遲滯非線性和不確定性對平臺運動精度和響應性的影響。

圖15 跟蹤方波信號時連接權值調整情況Fig.15 Connection weights adjustment when tracking a square signal

4 結語

針對微操作平臺的遲滯與時變特性，提出一種基于RBF神經網絡的單神經元PID控制策略來對其進行運動跟蹤控制。采用實驗方法建立了微操作平臺的傳遞函數，基于該傳遞函數可得單神經元PID控制參數的初始值，利用RBF神經網絡在線辨識建立了微操作平臺模型。該模型為單神經元PID控制器提供梯度信息，從而實現PID控制器參數的在線自整定，進而實現微操作平臺的自適應控制。為說明所提出控制算法的可行性，將其與普通PID控制算法進行了比較分析。對比結果表明，基于RBF的單神經元PID控制的跟蹤誤差更小、跟蹤速度更高，說明所提出控制方法的控制精度高、動態特性好。

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(編輯 張 洋)

Adaptive Motion Tracking Control of a Micro-manipulation Stage

HU Junfeng ZHENG Changhu CAI Jianyang

School of Mechanical & Electrical Engineering,Jiangxi University of Science and Technology, Ganzhou,Jiangxi,341000

Considering hysteresis nonlinearity and time variation of micro-manipulation stage, a single neuron PID control strategy was proposed for motion tracking control to improve motion accuracy and response of the stage. Gradient informations of the micro-manipulation stage might be obtained online by RBF neural network identifier, and learning algorithm of single neuron network was applied to achieve online self-tuning of PID parameters to achieve the adaptive motion tracking control of the micro-manipulation stage. In order to illustrate the feasibility of the proposed control method, experimental comparative analyses with ordinary PID control were carried out. Experimental results show that, displacement error ranges of the single neuron PID are as -0.5～0.5 μm, and the adjustment time of that is as 0.1 s, while displacement error ranges of ordinary PID control are as -2.5～2.5 μm, and the adjustment time of that is as 0.4 s. It shows that the proposed control method has better control accuracy, response speed, and stronger adaptability.

micro-manipulation stage; single neuron PID control; motion tracking; radial basis function(RBF) neural network; piezoelectric actuator

李 凡，男，1992年生。河北工業大學機械工程學院碩士研究生。主要研究方向為移動機器人。發表論文1篇。張明路，男，1946年生。河北工業大學機械工程學院教授、博士研究生導師。呂曉玲(通信作者)，女，1981年生。河北工業大學機械工程學院講師。E-mail:lxl000418@163.com。田 穎，女，1987年生。河北工業大學機械工程學院講師。白 豐，男1988年生，河北工業大學機械工程學院博士研究生。

2016-06-07

國家自然科學基金資助項目(51265016,51565016)

TH703;TP274

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.08.005